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EX
③ 3
(1) (1+x)*(1+x)"=(1+x) "" の展開式を利用して、 等式nC²+nC2++ C²=2C円が成り
立つことを証明せよ。
(2) n≧2のとき, 等式 C1+2,C2+3mC3+..+nC=n2"
(3) (2x-12 ) を展開したとき、すべての項の係数の和は口である。
(1) (1+x)(1+x)"=nCo(nCo+nC₁x++nCnx")
+nC₁x(nCo+nC₁x+...+nCnx")
+......
+nCnx" (nCo+nCx+......+nCnx")
ゆえに,(1+x)*(1+x)” の展開式において, x” の項の係数は,
nCk=nCn-ky
nCo nCn+nC₁ nCn-1+ +nCk⋅nCn-k++nCn⋅nCo
=nC2+nC2+......+...... nCm2
一方, (1x2" の展開式において, x” の項の係数は 2 C
したがって nC2+nC2+......+nC²=2nC
(2) knCk=k.
また
n!
(n-1)!
k!(n-k)! (k-1)!(n-k)!
= n°
2-1=(1+1)^-1
=n-1Co+n-1C1+n-1 C2+..+1C-1
よって,これらのことから
-=nn-iCk-1
nC1+2nC2+3mC3+..+nnCn
女子 Ⅱ
=n(n-1Co+n-1C1+n-1C2++カー1C-1)
=n・2n-1
が成り立つことを証明せよ。
〔(3) 近畿大]
← (1+x)*
= Co+Cx+.・････
+nCx
←展開式の一般項は
2n Crx7
←(a+b)^-1 の展開式で
a=b=1 とおく。
←C₁=nn-1Cots to
検討
(2) を場合の数の考えを利用して解く。
← (1) の場合の数の考え
「n人の中から委員を選び (委員は1人以上人以下とする) による解答は, 本冊 p. 18
委員の中から1人の委員長を選ぶ」 場合の数を, 次の
3 で扱っている。 考
[方法 1], [方法2] の2通りで求める。
[方法1] まず, n人の中から1人の委員長を選ぶ。その方法は
通り
そのおのおのについて,残りのn-1 人には委員になる, ならないの2通りがある
n×2"-1 通り
から, 求める場合の数は
[方法2] 委員が1人のとき, 委員の選び方は C1 通り。 そのおのおのについて 委
員長の選び方は1通り。
委員が2人のとき, 委員の選び方は C2 通り。 そのおのおのについて 委員長の
選び方は2通り。
CI
委員が人のとき, 委員の選び方は通り。 そのおのおのについて 委員長の
選び方は通り。
よって 求める場合の数は
[方法] と 〔方法2] から
今
nC×1+nCz×2+ +ヶCｶ×n
nC1+2nC2+3mC3+..+nnCn=n・2n-1
(3) 展開式の一般項はC,(2x)-(-1)=sC, 28"(-1)'x-2=0, 1,2,... 5で
5-2r
あり 各rの値に対して
展開式の一般項にx=1 を代入すると Cr.25-・(-1)' となり,
が成り立つ。
これは x5-2の項の係数である。
よって, 求める和は与えられた式にx=1 を代入したときの値
であるから (2-1-1)-1
