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倍数の個数
発展例題21
基礎例題 2
300以下の自然数のうち, 次のような数の個数を求めよ。
0) (2) 5の倍数または8の倍数
の
(1) 5の倍数でない数
(3) 5の倍数または8の倍数で100以上の数
CHABI
倍数の個数
GUIDE)
倍数全体を集合とみて, 集合の要素の個数を調べる
(1), (2) 300 以下の自然数のうち, 5の倍数全体の集合をA, 8の倍数全体の集合
Bとすると, 求めるのは
n(A), n(B), n(ANB) を求め, 公式を利用して個数を求める。
ANB は, 5と8の最小公倍数, すなわち 40 の倍数全体の集合。 A)。
(3) 1から99までの5の倍数または8の倍数の個数を(2) の個数から引く。
(2) n(AUB)
日解答日
300 以下の自然数全体の集合をUとし, Uの部分集合で, 5の
倍数全体の集合をA, 8の倍数全体の集合をBとすると
A={5-1, 5-2, …………, 5-60}, B={8·1, 8-2, -……, 8-37},
ANB={40·1, 40-2,
(1) 求めるのはn(A) である。
は積を表す記号。
………, 40-7}
300 を5,8, 40で割
た商が,それぞれ。
ANB の要素の個
-「…でない」 の個数
(全体の個数)
ー(「…である」 の他
n(A)=n(U)-n(A)=300-60=240 (個)
(2) 求めるのはn(AUB)である。
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(ANB)
=60+37-7=90 (個)
(3) 求める個数は, (2) の個数から, (99以下の5の倍数または8
の倍数の個数)を引いたものである。 99以下の自然数のうち,
5の倍数全体の集合を A', 8の倍数全体の集合を B' とする
A'={5·1, 5-2, …, 5·19},
B'={8·1, 8·2, ., 8·12}, A'コB'={40·1, 40-2}
n(A'UB)=n(Aり+n(B')-n(A'コB')
「100以下の自然数
するのは誤
と
A'NB'
自然数の
の集合。
1 99 以下の
は8の倍
よって
=19+12-2=29(個)
ゆえに, 求める個数は
n(AUB)-n(A'UB')=90-29=61(個)
