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●集合の共通部分集ロ
(ア)空欄にあてはまる適切な論理式を選択肢より選んで答えよ。
(1) (AUB)N(AUC)=AUD
(昭和女子大,一部省略)
(2) (ANB)U(ANC)=AN()
(3) (A∩BNCnc=nc
選択肢 (a) AUB
(c) CUA
(b) BUC
(d) ANB
(e) BNC (f) CNA
(g) AUB (h) BUC
(j) A∩B
(i) CUA
(イ 空欄に下の条件 P1 ~ Pa から正しいものをひとつ選んで入れよ。
(k) BNC (1) CNA
明治学院大・文,一部省略)
ABと同値な条件は (1) BOAと同値な条件は (2) ABと同値な条件は(3).
P1: (A∩B) B
P2: (A∩B) A
ベン図を描くのが基本
P3: (AUB) A
P(A∩B) B
集合の共通部分・和集合・ 補集合をとらえる基本はベン図を描くことであ
る。ベン図から,「分配法則」や「ド・モルガンの法則」が成り立つことが分かる。ベン図を描く方法に
これらの法則を適宜組み合わせるといった使い方もできるようにしておくとよいだろう。
解答言
(ア) (1)~(3)の左辺が表す集合をベン図に描くと下図のようになる.
(1)
A
(2)
A
B
(3)
B
A
例えば (1) を図示するには、
AB、
AB.
B
AUB=
CAUC=
の共通部分 (n) を図示して、左
図のようになる。
C
(1) (AUB) (AUC)=AU (BC) となり,答えは, (e)
(2) (A∩B)U(ANT)=AN(BC) となり,答えは, (k)
(3) (A∩BNC)n=(A∩B) ∩Cとなり, 答えは, (j)
注 (1) 分配法則 (p.68の① で,右辺 左辺) の式である.
(2) (A∩B)U(ANT)=AN(BUT)=AN(BC)
(3) (A∩BNC)n=(A∩BUT)C=(A∩BNC)U(TOC)
=(A∩BNC) UΦ=ANBNC
(イ) P1~P4の条件の左辺を網目部で表すと, 以下のようになる。
P(A∩B)⊃BP2: (A∩B) AP3:(ĀUB) A P(A∩B) B
A
BA
D D
B
A
B
A
(1)のベン図は, A以外に
BNC の部分も含んでいることか
ら答えを探す. (2)(3)も同様
←式変形で解くと左のようになる。
最初の等号は分配法則, 2番目は
ドモルガンの法則による.
B
網目部⊃右辺となる条件を求め
る.例えば, P1 の場合、網目部が
Bを含むことになり、太枠部で
まれた部分がない (空集合) こと
になる.
ここがない
ACB
⇔AB
⇔AB
がない
⇔ACB
以上により,答えは,(1)... P1, (2)... P3, (3) P2
(網目部⊃B)
⇔B=Φ
1 羽
一般に, XCYX(上
図参照)
