重要 例題 127 2次方程式の解と数の大小 (3)
OOOOの
方程式+ (2-a)x+4-2a-0 がー1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
基本 125,126
指針> [A] -1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解を含む)
[B] -1<x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
ような場合が考えられる。 [B] の場合は, 解答の [2]~ [4]のように分けて考える。
例題125, 126同様, D, 軸, f(k) が注目点である。
判別式をDとし, (x)3Dx"+ (2-a)x+4-2a とする。
バー1)=-a+3, f(1)=-3a+7
] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条件は
[D=(2-a)-4-1·(4-2a)20_.
D-0
D>0
軸x=ー
2-a
について -1<ー
2-a
<1
1
2
バー1)3+3>0
のから
ゆえに aS-6, 25a
③ /(1)=D-3a+7>0
(a-2)(a+6)20
の~のを解くと, 解は順に
12)
a'+4a-1220
よって
6, a<3
の, a<
0<aく4
8
**キ*
5~ の共通範囲は" 2Sa<
7
3
[3] 4-3
14] 4-
|2] 解の1つが-1<x<1, 他の解がx<-1または1<xにあ
るための条件は /(-1)/1)<0 (-a+3)(-3a+7)<0
(a-3)(3a-7)<0
7
-<a<3
3
よって
ゆえに
3 解の1つがx=ー」のときは
よって
バー1)=0
1)
ーa+3=0
ゆえに
a=3
このとき、 方程式は xーxー2-0 (x+1)(x-2)3D0
よって, 他の解はx=2となり, 条件を満たさない。
4 解の1つがx=1のときは
02
1)30
よって
-3a+730
ゆえに =
7
このとき, 方程式は 3xーxー2-0 . (x-1)(3x+2)30
よって、他の解はx=ニとなり, 条件を満たす。
コ~[4] から
(1, [2]で求めたaの値の範
圏と、14で求めたaの値を
合わせたものが答え。
2Saく3
または
