重要 例題 19 因数分解 (a+b+c-3abcの形のもの
(1) +=(a+b) -3ab(a+b)であることを用いて, a+b+c-3abc
数分解せよ。
(2)x+3.xy+y-1を因数分解せよ。
a²+b³²=(a+b)³-3ab(a+b)
M
解答
Ja³+6³ + c³-3abc-
= (a³ + b²³)+c²³-3abc
=(a+b)³=3db(a+b)+c²³~-~~3abc
(1)
⑩を用いて変形すると
a³ + b³ + c³-3abc=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=(a+b)³ + c³-3ab{(a+b)+c)
次に、(a+b+㎝について、3乗の和の公式か等式 ① を適用し,共通因数を見つける
(2) (1) の結果を利用する。
€ (a+b)³ +_c²³)_3ab{(a+b)_+_c}\__) (*)
= {(a+b)+c}{{(a+b)² =(a+b)c+c²}~3ab(a+b+c)
Pab+c) (a²+2ab+b²-ca-bc+c²-3ab)
-Wh 2017
=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)
別解 (*)を導くまでは同じ。
a³ + b³ + c³-3abc
={(a+b)+c}-3(a+b)c{(a+b)+c}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b+c)2-3(a+b)c-3ab}
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
(2) x3+3xy+y-1
=(x+ya-1)+3xy
=x+y+(-1)-3x・y・(-1)
={x+y+(-1)}{x²+y^2+(-1)²-x・y-y・(-1)-(-1)、x}
=(x+y-1)(x-xy+y^+x+y+1)
を因
a+bをまず変形。
(a+b)とのペア。
a+b+cが共通因数。
( )内を整理。
p.22の例題9(3) も参照。
a+b=Aとおき, 等式
A³+³
=(A+c)23-3Ac(A+c)
を再び用いる。
h
