基本 例題25 垂心の位置ベクトル
平面上に AOAB があり, OA5, OB=6, AB=7とする。 また, △OABの垂
00000
心をHとする。
COS AOB を求めよ。
(②2) OA=d, OB=6とするとき, OH をaを用いて表せ。 X
p.400 基本事項
△OABの垂心Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH
が成り立つ。
> 三角形の垂心とは、三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり、
直して解く。 (2) ではOH=sa+tとし, OA・BH = 0,
そこで, QABH といった図形の条件をベクトルの条件に
OB･AH=0の2つの条件から,s,tの値を求める。….
(1) 余弦定理から
よって
ゆえに
①②から
cos ZAOB=4
41= |a||5|cos∠AOB=5・6・-=6
(2) (1) から
△OAB は直角三角形でないから,垂心日は2点A,Bと
一致することはない。
Hは垂心であるから
DH=su +to (s, t は実数) とする。
OALBH より OA-BH0 である
a.
したがって
5+6²-72 12 1
2･5･6
60 5
から
a+(1-1)=0
よって saf+(t−1)a.t=0
ゆえに
25s+6(t-1)=0
すなわち 25s+6t=6
また, OBAH より OBAH =0であるから
b-((-1)a+tb}=0
(s-1)a.b+t|b²=0
6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1
5
24'
OH=
OALBH, OBLAH
t=
19
144
1
5→ 19
a + -6
144
(-50
A
a
H
6
重要28
AB-16-af
この2点だけでいいの?
=161-26-a+laf
|AB|=7, [4]=5, [6=6で
あるから 76-264 +53
よって 4.6=6
①垂直→ (内積) = 0
<BH-OH-OB
<||=5,0.6=6
⑩ 垂直一(内積) = 0
AH-OH-OA
421
24a-6-6, 161=6
①②から
24s=5
1年
A
