-
![]()
X5/2
10 (2
基本例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式)
次の不等式を証明せよ。
00000
①1 la+bl≦|a|+|b|
lal-b|sla-bl1000
p.38 基本事項 4. 基本 28
S
A:基本的に、ブソウにとけばよい。 ⓐ(1)は反対でやってれ?
OLUTION 2人ならであるんだーって思うのでOKです。
似た問題 1 結果を使う 2② 方法をまねる
(2) ag-bでおきかえよう
とするアイデアはどこから
(1) 絶対値を含むので、このままでは差をとりにくい。 [AP=A2 を利用すると,
絶対値の処理が容易になる。 よって,平方の差を作ればよい。...... [
(2) 不等式を変形すると
|a|≦la-61+16
(1) と似た形
←
そこで,(1) の不等式を利用することを考える。の方針 Oath =(a+b²
解答
xlatbl = atb.
(1) |a|+|62-la+b1=(|a|+2|a||3|+162)-(a+b)2
[inf.
A≧0 のとき
Nathatb=a²+2ab+b2-(a²+2ab+b2)
|-|A|≦A=|4|
=2(ab-ab) ≥0 ......
A<0 のとき x(1)
-|A|=A<|A|
しまって
(a+b=(|a|+|6|)²
であるから一般に
|a+b≧0,|a|+|6|≧0であるから
-|A|SASA
|a+6|≦|a|+|6|
更に,これから
30 $=x√&st
別解-|a|≦a≦|al, -16|≦b≦|6|であるから
|A|-A≥0, |A|+A≥0
辺々を加えて
__(|al+16)≦a+b≧la|+|6|
of+s
|a|+|6|≧0であるから
la+b≦|a|+|6|
◆c≧0 のとき
-c≤x≤c = |x|≤c
(2) (1) の不等式の文字α を a-b におき換えて
そのとき
x≤-c, c≤x
| (a-b)+6|≦la-6|+|6|
$30 $=1, @[x]c
|a|≦|a-6|+|6|
よって
ゆえに
lal-lb|sla-bl
別解 [1] |a|-|6| < 0 すなわち |a| <|6| のとき
(左辺)<0, (右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0 すなわち
!
la-b²²-(al-|b)=(a-b)²-(a²-2|ab|+b²)
号付録=2(−ab+lab)≧0
よって
(al-b)²≤la-b1²
|a|-|6|≧0, la-6|≧0であるから
alal-lb|sla-bl=2007
CHART O
47
ものは存在するから
1章
(2) 2
2②の方針が負
の場合も考えられるの
≧のときで、平方の差を作るには
場合分けが必要。
inf 等号成立条件
(1) は ① から |ab|=ab,
すなわち, ab≧0のとき。
よって, (2) は (a-b)≧0
ゆえに(a-b≧0かつb≧
または (a-b≦0かつb≧
すなわち a b≧0 また
a≦b≧0のとき。
TOL
等式・不等式の証明
