-
![]()
62 特殊な四面体
OA=OBOC をみたす四面体 OABCの点Oから, △ABC
を含む平面に下ろした垂線の足をHとする. このとき, 次の問い
に答えよ.
(1)Hは△ABC の外心であることを示せ.
(2) OA=OB=OC=9, AB=6,BC=8, CA=10 のとき,
OH の長さと四面体 OABCの体積Vを求めよ.
(2) AB2+BC2=36+64=100
CA=100
AB2+BC2=CA' だから,
△ABC は CA を斜辺とする直角三角形.
(1)より, Hは△ABCの外心だから,
Hは斜辺 CA の中点に一致する.
よって, OH=√92-5=2√14
また, △ABC=
1/1/6
･・6・8=24
2
...
V=1/23 △ABC・OH=16/14
精講
(1) 平面外の点から平面に垂線を下ろすとそ
の直線は,平面上のすべての直線と垂直で
す.また,Hが△ABCの外心とすると
0
HA=HB=HC が成りたちます。
H
これを手がかりに考えます.
(2) △ABCはふつうの三角形ではありません. 直角三
角形です。 (1)によれば, Hは△ABC の外心ですから,
斜辺の中点が外心になります.
H
直角三角形がたくさんあるので, 三平方の定理か三
角比の利用を考えます (61).
C
A
外心
解 答
(1)△OAH, OBH △OCH において,
∠OHA = ∠OHB=∠OHC=90°
次に,条件より, OA = OB=OC
また, OHは共通.
直角三角形において,
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので
△OAH = △OBH=△OCH
対応する辺の長さは等しいので, HA=HB=HC
よって, Hは △ABC の外心である.
B
C
0
9
9
9
A
H
6
8
B
9
A 5 H
●ポイント 四面体の1つの頂点からでている3つの辺の長さが等
しいとき,その頂点から対面に下ろした垂線の足は,
対面の三角形の外心になっている
この四面体のように特別に名前がついていなくても、キレイな性質をもって
いる立体は他にもあります. 演習問題 62の四面体もその1例です。
AB=BD=DC=CA=4, BC=AD = 2 をみたす
演習問題 62
四面体 ABCD について, 次の問いに答えよ.
(1) 辺BC の中点をMとするとき, AMの長さを求めよ。
(2) 辺 AD の中点をNとするとき,MN の長さを求めよ.
(3) AMDの面積を求めよ.
(4) 四面体 ABCDの体積を求めよ.
