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重要例題 168 三角形の面積の最小値
0000
面積が1である △ABCの辺 AB, BC, CA上にそれぞれ点 D,E,F を
AD:DB=BE:EC=CF:FA=4(1-4) (ただし,<K<1) となるようにと
る。
(1) △ADFの面積をtを用いて表せ。
(2)△DEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
基本162
指針 (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと、
△ABCと△ADFは∠Aを共有していることに注目。
△ABC=ABACsinA(=1),
AADF:
=1/AI
1 ADAF sin A
(2)△DEF =△ABC- (△ADF+△BED + △CFE) として求める。
Sはtの2次式となるから、基本形 α(tp)+αに直す。
ただし, tの変域に要注意!
(1) AD=tAB, AF = (1-t) AC
°00
A
晶検討
解答
であるから
D
1-t
一般に
△ADF:
=
2
1/A
・AD AF sin A
AFs
AAB'C'
AB'A
1-t
F
AABC
AB AC
t
=1t(1-t) AB ACsin A
Aniano A=2
Bt E1-t-
C
また. △ABC=
=/1/
1 AB AC sin A
4
C
B'
であり, △ABC=1から
AB AC sin A=2
.
H
「B
よって
AADF=t(1-1)+2=t(1-t)
