思考プロセス
問題 118 複素数の実数条件 純虚数条件
z≠ ±i を満たす虚数zに対して, w=
(1)w が実数ならば, z=1である。
Z
1+22
(2)w が純虚数ならば,も純虚数である。
★★★☆
とおく。次のことを示せ。
2/2018 ] = &+ (S)
α = a + bi(a,bは実数) に対して, a = a-bi より
b=0
a = 0 かつ 60
αが実数 α = α α が純虚数 α = -a, α = 0 nonbA
条件の言い換え
例題
116
(1)w 実数
↓
w=w
wが純虚数
I
w=-w
lw≠0
←
←
2
Z
1+22
1+22
2
1+22
1+z2
結論の言い換え
A
+m)|2|=1/
I
→zz=1-012+
zが純虚数
↓
2 = -2
[z≠0
(-1)+(8)
Action» 複素数が実数ならば=z, 純虚数ならば=z, z=0 とせよ
(1)w が実数のとき, w=w が成り立つから
0.0
z = a + bi について
+
が実数⇔b=0
Z
2
1+(z)2
1 +220] +
<2=2
2
Z
=
より
1+2
よって
1+22
z(1+z^) = z{1+(z)2}
=
=()
B
用する。
(zz-1)(z-z) = 0
zは虚数より zzであるから
すなわち, |z|2=1より
||=1
zz-1=0
22(2-2)-(2-2)=0
za+biについて
三(+yzが虚数⇔60
1801) = (8+b)(+0)
(2)が純虚数のとき, w=-w であるから
(1)より
1+22
よって
1+22
Z
=
1+(z)
2 (+22)=z{1+(z)}
Z
1+22
zz+zz+z+z=0
(z+1) (z+z) = 0
Tel:
22(2+2)+(万+z)=0
2+2=0
zz+1= |z|2+1>0であるから
例題
116
すなわち
2 = -2
また, w が純虚数のとき, w≠0 であるから
したがって, zは純虚数である。
練習 118 お
z = 0
z = a + biについて
虚数
a=0, 60
2+0
