に
ASAS
5 [2011 新潟大]
実数 a, b, c に対して,3次関数f(x)=x3+ax2+bx+c を考える。
(1) f(-1), f(0), f(1) が整数であるならば,すべての整数nに対して, f(n) は整数
であることを示せ。
(2) f(2010), f(2011), f (2012) が整数であるならば,すべての整数nに対して, f(n)
は整数であることを示せ。
[解答
(1) f(-1)=-1+α-6+c, f(0)=c, f(1)=1+a+b+c から
f(1) -f(-1)
2
よって
a=
f(1)+f(-1)
2
- ƒ(0), b=
f(n)=n³+an²2 + bn+c
=1
2³ + {ƒ(1) + ƒ (−¹)_ _ƒ(0)}m² + {F(¹) −ƒ(−¹)_ _1]n+ f(0)
2
=
2
2
=f(1)..
+n³-f(0)n²-n+f(0)
n(n+1), (n-1)は連続する2つの整数の積であるから,いずれも偶数である。
よって, n(n+1)(n-1)n はいずれも整数である。
n(n+1)
2
(n-1)n
2
--1, c=f(0)
- + f(−1).-
2
2
したがって, f(-1), f(0), f(1) が整数ならば,すべての整数nに対して, f(n) は
整数である。
(2) g(x)=f(x+2011) とすると
g(x)=(x+2011)+α(x+2011)2 +6(x+2011) +c
= x³ +a'x² +b'x+c' (a', b', c'()
(2010), (2011), f(2012) が整数であるならば, g(-1), g(0),g (1) は整数で
g(n-2011) = tem gi
AC
また
ある｡
よって, (1) で示したことから, すべての整数nに対して, g(n) は整数であることがい
える。正が壁教ならば、すべてのいに対してdom)は整数、
したがって,すべての整数nに対して, g(n-2011) すなわち f(n) は整数である。
