Question

あや

演習β 第21回 5
(2)解説を見たら理解出来るんですけど、これを初見で解ける人は、例えばマーカー部分の式などをどういう考えで思いついてどんな考え方でこの問題を解いていくんですか？

に
ASAS
5 [2011 新潟大]
実数 a, b, c に対して,3次関数f(x)=x3+ax2+bx+c を考える。
(1) f(-1), f(0), f(1) が整数であるならば,すべての整数nに対して, f(n) は整数
であることを示せ。
(2) f(2010), f(2011), f (2012) が整数であるならば,すべての整数nに対して, f(n)
は整数であることを示せ。
[解答
(1) f(-1)=-1+α-6+c, f(0)=c, f(1)=1+a+b+c から
f(1) -f(-1)
2
よって
a=
f(1)+f(-1)
2
- ƒ(0), b=
f(n)=n³+an²2 + bn+c
=1
2³ + {ƒ(1) + ƒ (−¹)_ _ƒ(0)}m² + {F(¹) −ƒ(−¹)_ _1]n+ f(0)
2
=
2
2
=f(1)..
+n³-f(0)n²-n+f(0)
n(n+1), (n-1)は連続する2つの整数の積であるから,いずれも偶数である。
よって, n(n+1)(n-1)n はいずれも整数である。
n(n+1)
2
(n-1)n
2
--1, c=f(0)
- + f(−1).-
2
2
したがって, f(-1), f(0), f(1) が整数ならば,すべての整数nに対して, f(n) は
整数である。
(2) g(x)=f(x+2011) とすると
g(x)=(x+2011)+α(x+2011)2 +6(x+2011) +c
= x³ +a'x² +b'x+c' (a', b', c'()
(2010), (2011), f(2012) が整数であるならば, g(-1), g(0),g (1) は整数で
g(n-2011) = tem gi
AC
また
ある｡
よって, (1) で示したことから, すべての整数nに対して, g(n) は整数であることがい
える。正が壁教ならば、すべてのいに対してdom)は整数、
したがって,すべての整数nに対して, g(n-2011) すなわち f(n) は整数である。

整数問題

Answer 1

かきつばた

(1)でx=0,±1の時って調べたんでしょ？
関数って別に平行移動させても形が変わることがないし、置き換えても形が変わることはない。
だから平行移動させて、置き換えても大丈夫だよねって感じ