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第3章 2次関数
基礎問
37 最大 最小 (Ⅲ)
(1)実数x,yについて,x-y=1のとき, x-2y2の最大値と,
そのときのxyの値を求めよ.
(2)実数x,yについて,22+y=8のとき,+g-2の最大
値、最小値を次の手順で求めよ.
(i)x2+y^2x をxで表せ.
(ii) のとりうる値の範囲を求めよ.
(i)x2+y2-2.x の最大値、最小値を求めよ.
(3) y=x^+4.3+52 +2 +3 について、 次の問いに答えよ.
(i) x2+2x=t とおくとき,yをtで表せ .
(ii)−2≦x≦1のとき, tのとりうる値の範囲を求めよ.
(Ⅲ) −2≦x≦1 のとき,yの最大値、最小値を求めよ.
精講
見かけは1変数の2次関数でなくても、文字を消去したり,おきか
えたりすることで1変数の2次関数になることがあります。このと
き,大切なことは、文字の消去やおきかえをすると
残った文字に範囲がつくことがある
ことです.これは2次関数だけでなく、今後登場するあらゆる関数でいえるこ
とですから,ここで習慣づけておきましょう.
解答
(1)x-y=1より, y=x-1
x-2y2=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2
=-(x-2)2+2
xはすべての値をとるので, 最大値 2
このとき, x2,y=1
(2)(i) y2=8-22 より
x2+y2-2x=x2+8-2x²-2x=-x²-2x+8
(i) y'≧0 だから,24-x20
平方完成は28
2次不等式 44
x2-40
∴ (x+2)(x-2)≦0
-2≤x≤2
