微積の偏微分についての問題です！至急です！ 写真の問題がわからなかったので解説お願いします🙇‍♀️ 本当に困ってるのでお願いします

2. 次の極限値を, (13) の各方法で求めよ : lim 1-e-ah h (αは正の定数) (1)1-e-ch=k とおいて関係式 lim log(1-k) =-1を用いる. k-0 k (2)ef のマクローリン展開の式に=ah を代入した式を用いる。 (3) ロピタルの定理を適用する.

（ 1） 絶対値xの範囲はどうやって決めたのですか？ おそらくg （x）である分母の部分は絶対に０になってはいけないから０にならんように範囲を取っている。 でもその場合，なぜ開区間（０，π）だけでいいんですか？開区間（π，2π）でもg '（x）≠0【ロピタルの定理の【2】参... 続きを読む

13 ロピタルの定理 分析でてきたら⇒ロピタル 10563 ロピタルの定理 開いて、 0-(1-5) mil 基本 例題 057 不定形 (号)の極限① ★★☆ 以下の極限値を, ロピタルの定理を用いて求めよ。 mil (1−cosx)sinx -0 (1) lim ex-1-x sinhx-x x0 x−sinx (2) lim (3) lim x→0 x-0 sinx-x 指針 0 fin mil いずれも の不定形の極限である。 f'(x) gix). I g'ix) 0-(x-xdnie) mil (E) 定理 ロピタルの定理 αを含む開区間I上で定義された関数f(x), g(x) が微分可能で,次の条件を満たすとする。 [1] limf(x)=limg(x)=0 x→a x-a [2] xキαであるI上のすべての点xでg'(x) ≠0 '(x.doia) f'(x) [3] 極限 lim が存在する。 x-a g'(x) f(x) このとき, 極限 lim x-a g(x) x-a も存在し lim -=lim ig(x) x-a g'(x) f(x) f'(x) が成り立つ。 mil x0 0<|x| <πにおいて {(1-cos x)sinx}' lim lim ...... 【不定形の極限が現れる場合, f" (x), g" (x), f'(x), g" (x), が存在して定理の条件を満 たすならば,ロピタルの定理は繰り返し用いてよい。 詳しくは 「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分」 の112~119ページを参照。 解答 (1) lim{(1-cosx)sinx}=0 かつ lim(x-sinx)=0 x→0 mil= nia- (x−sinx)=1-cosx+0 sinx+cosx−cos x drianil [1] の確認。 mil [2]の確認。 x→0 (x−sinx) x→0 1−cosx 0800- N Fox) cosx-cos 2x =lim ① 1−cosx x0 cos"x-sin'x=cos2x -zag() mil ここで ここでLim(cosx-cos2x)=0 かつ lim (1-cosx) = 0 [1]の確認。 x→0 x→0 もう一度 0<x<πにおいて (1−cosx)=sinx=0 [2] の確認。 ロピタルの 選ぼう! また lim a x0 (cosx-cos 2x)' (1-cos x)' 2sin2x−sinx =lim x→0 sinx [3] の確認。 =lim (4cosx-1)=3 x-0 よって,ロピタルの定理により, ①の極限値も存在して3 (1−cosx)sinx に等しいから lim x-sinx x-0 -=3 4sin2x=2sin x cosx (2) lim (ex-1-x)=0 かつ limx2=0 x→0 x-0 x=0において (x2)'=2x=0 [1]の確認。 [2] の確認。

(2)の問題で、広義積分を求める問題なんですが、計算方法から答えが分かりません😭 教えていただけると嬉しいです!!!

(3) 次の広義積分の値を求めよ。 dx (1) Soxex de (2) f(log x + 2)² dx

1と2番を教えてほしいです

問題 3. 次の極限値を求めよ、ただしロピタルの定理を使った場合はどこで使ったか明記せ (20点) sin 1-2 H 2 ez (1) lim (2) lim + ex log(1 - 3x) (3) lim (4) lim 014 I 818 (4x2 +3-1)(x2 +3 +1) 3x+2x2-5x+1

(2)の解き方が分かりません。 計算方法を押しててください🙇‍♀️

次の不定形の極限値を求めよ. (1) lim 1-cos 2x x→0xlog(x+1) (2) lim tan x-x x→05x-5sinx

写真の定理4-5の証明についてですが、なぜ赤線部のように0<x<1/a'と範囲を定めるのですか？ またa'＝max{a,1}の1というのはどこから出てきたのですか？ 青線部にF,Gを定理4-4に適応したら定理4-5か示せるとのことですが、この途中式？がわからないです。 以上... 続きを読む

定理 4.4 (ロピタルの定理) c∈ (a,b) とし,I = (a,c) U(c,b) とす f(x),g(x)がI上の微分可能な関数で lim f(x) = limg(x) = 0 Cは定義域外で XIC 514 をみたしているとする.g(x) ≠0,g'(x) ≠0(x∈I) であり,極限 f'(x) lim A が存在するならば g'(x) f(x) lim = =A x→c g(x) が成り立つ 定理 4.5 (ロピタルの定理) f(x),g(x) が (a,∞) 上の微分可能な関 数で lim f(x) = limg(x) = 0 818 812 をみたしているとする. g(x) ≠0,g'(x)=0(x=(a,∞)) であり,極限 f'(x) lim A が存在するならば xxx g'(x) f(x) lim =A x400 g(x) が成り立つ。なおこの結果はf(x),g(x) を (-∞,α) 上の微分可能な関数 とし, lim を lim と置き換えても成り立つ。 BIR なぜ、ama ◆証明◆ d' = max {a, 1} とする. F(x) = f (#), Ga G(x) = g (1)(o< 0<x< と定義する. 0 であるための必要十分条件は であるから,本定理はF,G T に定理 4.4 を適用すれば導かれる.

写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。 ①なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？ ②どの部分の不等式を変形したら赤線の不等式が出てくるのですか？ ③赤線の不等式が成り立つときなぜ定理が証... 続きを読む

定理4.6 f(x),g(x) が (a,b) 上の微分可能な関数で lim f(x) = lim_g(x) =+∞ エロ+ f'(エ) をみたしているとする。 このとき 極限 lim = = A が存在するならば x+a+ g'(x) f(x) lim == A za+ g(x) が成り立つ。なおこの定理は lim の部分をすべて lim あるいは lim, +α14 lim におきかえても成立する. b- 8 ◆証明 任意の0<<1に対して,あるδ0が存在し,a<x<a+δに対して f'(x) A-< <A+EAKE g'(x) が成り立つ。必要なら80をさらに小さくとって,f(x)>0,g(z) >O(a<x< a+δ) となるようにできる。 コーシーの平均値定理から, a<x<a +δに対して,あ ∈ (+8)が存在し, f(x)-f(a+8) f'(g) = g(x) − g(a+8) g'(§) が成り立つ。ゆえに A-ε< f(x)-f(a+8) である. したがって f(x) = + g(x) g(x) である. ここで 9(x) − g(a+6) = 1 g(x) g(a+6) (エ) f(a+8) →1 (x → a+), g(x) − g(a + 8) f(x)-f(a+δ)g(x)-g(a+8) f(a+8) 9(x) g(x) − g(a+8) <A+e 価 以 grat (エ) 0(土)であるから,必要ならばさらにを小さくとることにより1> g(z)-g(a+6) f(a +8) g(x) >1-ɛ, 0< <e としてよい。ゆえに g(x) f(x) (A+c) +g> >(A-) (1-e)=A-e(A+1-c) g(x) が成り立つ。よって定理が証明された, 残りの主張も同様の議論で証明できる.

至急です。この問題の解き方がわからないので教えてください

Tim x²logd = x2

この二つの途中式はあっていますか？

0 lim x²log x x= ∞0 8 270 lim x²logx = lim logx = lim 210 = lim 17+0 xto - 12 -0 to - H 273

赤い()のところで、なぜ-∞になるんですか？

32 基本 例題 198 方程式の実数解の個数 f(x)=(定数)に変形 00000 αは定数とする。 方程式 ax=210gx +log3 の実数解の個数について調べよ。 logx. ただし, lim =0を用いてもよい。 p.326 基本事項 ② 重要 197 重要 199 x 第8 JA 指 指針▷ 直線 y=ax と y = 2logx+log3 のグラフの共有点の個数を調べれ ばよいわけであるが,特に, 文字係数 αを含むときは,αを分離し f(x) =αの形に変形して考えるとよい。 このように考えると,y=f(x) [固定した曲線] とy=a[x軸に 平行に動く直線] の共有点の個数を調べる ( ) ことになる。 y=f(x) [CHART 実数解の個数グラフの共有点の個数 定数αの入った方程式 定数 αを分離する 解答 真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は この断りを忘れずに。 2logx+log3 2logx+log 3 =αと同値。 f(x)= とすると 定数αを分離。 XC x ƒ'(x)= 2−(2logx+log 3) _ 2−(logx²+log 3) x² f'(x) = 0 とすると,x>0であ e るから x= √3 x>0における増減表は右のよ うになる。 また limf(x)=-∞, limf(x)=0 XC + 2-log 3x² 110g3x2=2から x2 3x2=2 e x 0 f'(x) f(x) 7 2√3 e x+0 x→∞ y=f(x) のグラフは右図のように なり,実数解の個数はグラフと YA 2√3 e x>0であるから /3 0 極大 x→ +0のとき 10 x →∞, logx→-8 x→∞のとき e x= 2√3 直線y=aの共有点の個数に一致 するから <αのとき0個; e 0 x e y=a 2√3 |y=f(x) a≤0, a= のとき1個; e 2√3 0<a< のとき2個 e logx →0. 0 x x [参考] ロピタルの定理から lim 8 logx x =lim