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2円の共通接線
例題 105
指計 共通接線の木数は2円の位置関係によって変わる(数学A)が,本
間のように、一方が他方の外部にあって離れているときは,共通
内接線と共通外接線がそれぞれ2本ずつある。
それらの方程式を求めるときは
円G上の点(x), )における接線が円 C, にも接する
と考えて進めると,計算がらくになることが多い。
共通内接緯
円G:+y*=4 と円C:(x-5)"+y?=1 の共通接線の万程式を求めょ
共通外接線
また,本間については,点と直線の距離の公式を使う方法の他に,相似を使って図形的に
える方法や,判別式を利用する方法もある。
答案 円 C,上の接点の座標を(x, y)とすると
x?+y°=4 …
れx+yy=4
の
2
C
2
接線の方程式は
直線②が円 Caに接するための条件は,円 C2 の
中心(5, 0) と直線② の距離が, 円 Caの半径1に
等しいことであるから
2
15x,-4|
ー=1
Vx?+y?
15x-4|=2
のを代入して整理すると
62
5'5
よって
5x」-4=±2
したがって
X1
8
=2のとき y=±-
4V6
:== のとき y=±-
5
1から
X」
ミ
そぎと
これらを②に代入して,求める共通接線の方程式はぶ
*5
「共通外接線
*+ッ=4, そx+y=4 すなわち 3t±4y=10, x±2/6y=10
8
「共通内接線
5
別解1.求める共通接線はx軸に垂直でないから,その方程式を y=mx+n とする。
この直線が円 C,, Czに接するための条件は,それぞれ
|nl
|5m+n|
-=1
Vm'+(-1)?
In=2m'+1, |5m+n|=\m°+1
=2,
中心と接線の距離=#
したがって
のから
In|=2|5m+n
の
よって
ゆえに
n=±2(5m+n)
n=-10m または n=-
10
-m
3
O円O
|n=2/m'+1 の両辺を2乗して
以下,複号同順とする。
n°=4(m?+1)
2
② と n=-10m から
mミ+16
12,7ミ 6
2と n=ー
10
3m から
(-10m)={(m+
6
3
m=±-
4
よって,求める共通接線の方程式は
nミチ)
2
m
3
5,6
12
ソ=+ーェキ
ビミナ6
6
