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(O
平面上のと動点P、 次の等式が、
2
Xs
66第9章 平面上のベクトル
LE9
3 ベクトルと図形
APは
例 日 364 円のベクトル方程式2
よって、点Pは,ABを5:1 に外分する点 のーAM
を中心とする半径一ABの円の周上を動く。
(2) AP-BP=AC·BE
どのような図影上を動くか。
) (AF+BP)-(AF-2BP)-0
る。本間では、 辺ABの中点を基点とすると考えやすい
(1) ABの中点Mを基点とし、3点4, B, Pの
位置ベクトルをそれぞれa, -a, pとすると、
(AF+BP)-(AF-2BP)=0 は、
(2) 線分ABの中点Mを基点と
し,4点A, B, C, P の位置ベク
トルをそれぞれ,a, -a, c, p
とすると,AP·BP-AC-BC は,
一AB
(d)く
YD)V
(ロー)
0=(2+のa-(2ーの)-(2+D+(@-)
A(G)
(2+2)(2-2)=(0+)-(ロ-9)
1BPーにP
6%
* 22=4-4>
pp=ccより,
1=に1(一定)
したがって,点Pは, 線分 AB の中点を中心とし,点
Cを通る円の周上を動く。
(別解) 座標平面上で, A(0, 0), B(a, 0), C(6, c), P(x, y)とすると、
AP=(x, y), BP=(x-a, y).
AC=(6, c). BC=(b-a, c)
より,AP-BP=AC·BC は, x(x-a)+y°=b(b-a)+° となる。
0-(S--)-を
の…… 0=(2E+の
(D-)8
2-1
Aa), B(6)を
の両端とする円。
クトル方程式は、
ここで、-3a は,酸分ABを 2:1に外分する点D
の位置ベクトルを表す。
よって、点Pは、線分 ABの中点Mと, AB を 2:
に外分する点Dを直の両端とする円の周上を動く、
(別解1)のより,
したがって、
0=(28-)-の-
したがって、(xー号)+
y=b(b-a)++5より。
(xー)+デー(b-)+c となり,点C(5. c)を通る。
0=D.48+4-4
よって,点Pは, 線分 AB の中点を中心とし,点Cを通る円の周上を
動く、
26
Focus
中心CC),半後、
の円のペクトル
式6-2=r
円のベクトル方程式
C(), (半径)=r)
( ( )=0(A(a), B(6)を直径の両端とする円)
ここで, 一分なは,線分ABを 5:1 に外分
する点Eの位置ベクトルを表す。
したがって, 点Pは, ABを 5:1 に外分する
点Eを中心とし, ABの中点Mを通る円の周上
を動く。
注》本間は ABの中点Mを基点として考えたが, MのかわりにAを基点として考えると、
次のようになる.
(1) (6+(万ー6)-6--2(カー6))=0 より、(カ-)6-26)=0
となり, ABの中点と, AB を2:1 に外分する点を直径の両端とする円の周上を動く、
(2) か(万-)=è·(に-6)より, 万P一かち=にPー·も
したがって, 5ーード-5から。
AP=(x+a, y), BP=(x-a, y) より,
AP+BP=(2x, 2y)
AF-2BF=(-x+3a, -y)
したがって、
(AP+BP)-(AF-2BF)=2x(一x+3a)+2yx(ーy)
となり,ABの中点を Mとすると、Mを中心とする半径 MC の円の周上を動く.
より,パー3ax+y°=0
0=
練習
平面上の △ABCと動点Pについて, 次の等式が成り立つとき, 点Pはどのよ
364
うな図形上を動くか.
(1) (AF+BF)·(A+3BF)=0
(2) 3AP·BP32AP·CP
→p.649 29)
