3 方程式・不等式への応
213 不等式を満たす定数の値の範囲
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kを定数とする. x≧0 ならばつねに 4x +1≧kx となるようなんの値
の範囲を求めよ.
考え方 f(x)=4x+1-kx とおく.x≧0 f(x) ≧0とな
るのは,y=f(x)のx≧0における最小値が0以
上となるときであるので, それを満たす定数んの
値の範囲を求める.
(一橋大 )
(最小値) ≧0
解答 f(x)=4x3+1-kx とおくと
(i) k>0 のとき
f'(x)=12x²-k
f'(x)=12x-k=(2√3-√k) (2√/3x+√k)
f'(x) =0 とすると,
√R
f(x)
x=±-
√3k
=土-
2√3
6
x≧0 における f(x)
の増減表は右のよう
になる.
x 0
√3k
6
O
√3k
f'(x)
0
+
6
√3k
x=-
のとき最
f(x) 1
極小
6
極小値が最小値
小値をとるから,
√3k
(
√√3k
√3k to
+1-k··
6
√√3
√3
·k√k+1-
18
6
√3
9
20
9
より3
k0 より 両辺は正より2乗して、
(k-3)(k²+3k+9)≤0
k³≤27
x³-a³
=(x-a)(x2+ax+α)
k>0 のとき,k+3k+9>0 だから,
k-3≤0
k-3≦0 より
したがって,
0<k≦3
k≦3
(ii) k0 のとき
x≧0 で
f(x)=4x+1-kx>0
x≧0k0 のとき,
4x0, 10,
したがって4x+1≧kx が成り立つ.
x≧0 より
4x3+1-kx>0
Focus
よって, (i), (ii)より, k≦3
・つねにf(x) {f(x)の最小値}≧0
・3次以上の不等式はグラフで考えよ
のときつねに f(x) ≧0とな
第6章
