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基本例題 172 対数の表現
(1) log23=a, logs5=6のとき, 10g210と10g1540 をα b で表せ。
[名城大]
(2) 10gxa=1/13, logxb=1/23, logxc= のとき, 10gabcxの値を求めよ。
8
24
[ 久留米大 ]
(3) a,b,c を 1でない正の数とし, logab=α, 10gbc=β, logca=y とする。
1 1 1
このとき, aβ+βy+ya= + + が成り立つことを証明せよ。
a B Y
指針 (1) 10, 15, 40 をそれぞれ 分解して, 2, 3,5の積で表すことを考える。
logz10=logz (25)=1+log25 底の変換公式を利用して, 10g25 をα b で表す。
また, 10g 1540 は, 真数 40=5・2°に着目して､ 2を底とする対数で表す。
1
(2) 10gabex=
である。 logxabc の値を求める。
logxabc
(3) 右辺を通分すると, 分母に αβyが現れる。 これを計算してみる。
解答
(1) logz10=log2(2.5)=10g22+log25=1+log25
log35
logs 2
log₂10=1+ab
log is 40=
ここで
よって
また
log₂5=
よって
=log23.10g35=ab
(3) + +
log240
log215
a B Y
ab+3
ab+3
a+ab a(b+1)
=
1
(2) 10gxabc=10gxa+10gx6+10gxc= +
logabcx=
1 1 1 aB+βy+ra
aby
log₂(5.2³)
log₂ (3.5)
1
logxabc
=2
log25+3
log23+log25
1
1
+
3 8 24 2
=
logac. 1
loga blogac
aβy=logablog.clogca=logab.
1 1 1
であるから ① より + + -=aβ + By+ya が成り立つ。
α B Y
したがって、 等式は証明された。
=1
1
log23
前ページ検討も参照。
<logs2=
<log5=ab (前半から)
log.
基本 171
(3) 別解
logm
したがって
(左辺)
aβ=logablog.c=logac
同様に βy=logsa
ra=log.b
=logac+logsa+logcb
[[[[[[[]]]
+
+
Y a B
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5章
90 対数とその性質
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