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OC)
△ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。
(1) OA+OR+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。
(2) (1) の点Hに対して, 3点 0, G, H は一直線上にあり
GH=2OG
[類 山梨大 〕 基本 25 基本 71.
指針
(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交
点である。
解答
AH ¥0, BC = 0, BH = 0, CA ¥0 のとき
A
AHLBC, BHLCA ⇒ AH•BC=0, BH-CA=0
であるから 内積を利用 して A [(内積) = 0] を計算により示す。
Oは△ABCの外心であるから [OA|=|OB|=|OC|も利用。
CHART 線分の垂直(内積) = 0 を利用
(1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよ
い。 このとき, 外心 0 は辺BC,
CA上にはない。
(1)
OH=OA+OB+OCから
AH-OH-OA=OB+OC B
ゆえに AH･BC
......
=(OB+OČ)・(OC-OB)
|=|OC|-|OB|= 0
同様にして
BH-CA=(OA+OC).(OA-OC)
=|OA|-|OC|=0
A
OG H
C
練習 右の図のように,△ABC の外側に
31
また, ① から AH=OB+OC0, BH=OA+OC≠0
よって, AH≠0, BC ¥0, BH = 0, CA +0 であるから
AH IBC, BHICA
Oaf
すなわち AH⊥BC, BHICA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
(2) OG=
OA+OB+OC
3
ゆえに GH = OH-OG = 2OG
ETUS!
よって, 3点 0, G, Hは一直線上にあり GH=2OG
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
D+00A=0B=OC
(数学A)
このとき,外心は辺AB
上にある (辺ABの中
点)。
p+AD
■BC=OC-OB (分割)
△ABCの外心0→
AP=AB, AQ=AC, ZPAB=ZQAC=90° 0
となるように 2点P, Qをとる。
更に、四角形 AQRP が平行四辺形になるように点Rをと
ると
ARI
を証明する
=
1/30から OH =3OG (1) から A
GAZARD
晶検討
外心, 重心,垂心を通る直
線 (この例題の直線
OGH) を オイラー線と
いう。ただし、正三角形
は除く。
OA+OB+OC=OH
ORSAN
P
00+ HOSI
SE
E
