Question

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

2枚目の下線引いてあるところの説明が理解できません

50 [A] xy平面で,不等式 (y-x) (y-3x)<0で表される領域を図示せよ。 (山梨大)
[B] 点A,BをA(−1, 5), B(2, 1) とする. 実数a, bについて直線
y=(b-a)x-(3b+α) が線分 ABと共有点をもつとする。 点P(a,b) の存在す
る領域を図示せよ.
(茨城大)
思考のひもとき
AB>0ということは,A>0,B>0 または A <0, B <0 ということである.
1.
AB <0 ということは,A>0,B <0 または A <0,B>0 ということである。
解答
[A] (-x)(y-3x)<0より
[y-x2>0 かつy-3x < 0
または
ly-x<0 かつy-3x>0
または
Ly<x² かつy>3x
y=x2 と y=3x の交点を求めると
とする.
[y>x² かつy<3x
x=3x ⇔ x2-3x=0⇔ x(x-3)=0
Jous
x=0,3
より
交点(0, 0) (39)
€ 10,07
よって 求める領域は右図の斜線部分で, 境界は含まな
い。
[B] y=(b-a)x-(3b+α) ..... ① より
f(x,y)=(b-a)x-y-(3b+α)
VA
方程式
10 3 x
(境界は含まない)
図形と
123

線分 AB と 直線 ① が共有点をもつ
⇒直線①に関して点Aと点Bは反対側
にあるか, 点Aまたは点Bが直線 ①
上にある
⇔ f(x,y) に点A,Bを代入したものが
異符号になるか0となる?
⇔f(-1,5)xf(2,-1)≦0
124
46 +5 ≦0かつ 3a+b-1≧0
または
146+5≧0かつ 3a+b-1≦0
bs-5
4
⇒ ((b-a)(-1)-5-(3b+a)}{(b-a)×2-(-1)-(3b+a)) ≤0
.. (-4b-5)(-3a-b+1) ≤0
∴ (4b+5) (3a+b-1)≦0
または
5
かつb≧-3a+1
-10
5
4
B
Ab
13
4
51 a≧0とす
上の点Pと
5
b≧-- かつb≦-3a+1
4
よって 求める領域は右図の斜線部分で, 境界を含む.
解説
1° f(x,y)=0 に関して f(x,y) > 0 を満たす領域を正領域, f(x, y) <0 を満たす領
域を負領域という. f(x,y)=0 によって座標平面は2つの部分に分けられる. 必ず
しもグラフの上側が正領域となるわけではないので注意すること.
2° たとえば,[A] の領域の境界は「y=x2 またはy=3x」 で,これらによって4つ
の領域に分けられる. (1,0),(1,2),(0,1),(-1, 0) などを代入して不等式が成
り立つかどうかを吟味するとミスが防げる.
3°[B]では,グラフを考えれば, f(x,y)=0 に対して点Aと点Bがそれぞれ正領域
負領域,異なる領域に存在すればよいということになる. 「線分ABと共有点をもつ」
ので,両端を通る場合を含むことになり条件に等号が入る.
( 境界を含む)
(思考のひも
1. 異なる円
Cir Cz の
解答
C
Ci:2
C2:
C₁ l
ある.
+6
21
PQ
と