Question

かい

164⑶です

必解 163.
0以上の実数 tに対し,F(t)=Solx-12|dx とする。
(2)X
(1) F(t) を tを用いて表せ。
(2) t≧0 において, 関数 F (t) が最小値をとるときのtの値を求めよ。 [12 大阪市大]
8/
必解 164. 〈絶対値を含む関数のグラフと面積〉
1481×
f(x)=x2-2a|x|+α²-1 とする。 ただし, αは定数である。
(1) α=2のときの関数 y=f(x) のグラフをかけ。
(2)a= 1/12 のとき,y=f(x)のグラフとy軸との交点のy座標を求めよ。
2
0810
(3) a≧0 のとき, y=f(x) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
[14 中央大 法]
必解 165. 〈放物線と円で囲まれた図形の面積〉
放物線 L:y=x2 と点R(0, 2)を中心とする円Cが異なる2点で接している。ただし,
LとCが点Pで接しているとは, LとCが点P を共有し,さらにLとCが点Pにおい
セ
て共通の接線をもつことを意味する。
(1) 2つの接点の座標を求めよ。
(2) 円Cの方程式を求めよ。
(3) 2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧とLとで囲まれる図形の面積を求めよ。
[12 西南学院大 ]
16
C

22
すなわち (3-a=2
上の実数。
F(t)
13
14
>
23
ゆえに,F(t)が最小値をとるときのtの値は
LORA
164 〈絶対値を含む関数のグラフと面積 >
t=
12
グラフはy軸に関して対称 対称性を利用して面積を求める
f(x)=x2-2a|x|+α²-1=(|x|-a)2-1
(3)
(1)a=2 のとき f(x)=(|x|-2)2-1
x0 のとき
f(x)=(x-2)2-1
x0 のとき
f(x)=(-x-2)2-1
=(x+2)2-1
よって, 関数 y=f(x) のグラフは右
y+
3
0
2-
1.
3x
漏れなく
険まで完
広くカ
使い
固め
策や
+x²=(1x1)²
(x-2)^={(x+2)}^
=(x+2)^
■, -t, tを境目
値のはずし方が
こで,積分区間
■ にこれらが含
場合分けをする。
から tが
の図のようになる。
3
(2)a= 1/12 のとき
f(x)=x2-|x|- 4
3
f(0)=
であるから, 関数 y=f(x) のグラフとy軸との交点
関数y=f(x)のグラフ
4
と軸との交点のy座標は
f(0)
含まれるかを
3
のy座標は
(3) 求める面積をSとする。 f(0)=α2-1より,
関数 y=f(x) のグラフとy軸との交点のy座標は
a²-1
数学重要問題集(文系) 131

[1] α-1 <0 すなわち 0≦a<1 のとき
x≧0のとき
f(x)=x2-2ax+α²-1
f(x) = 0 とすると
x2-2ax+α²-1=0
したがって
つくCOは
{x-(a-1)}{x-(a+1)}=0
0≦a <1 のとき, a-1 <0 である
から、より x=a+1
よって、 右の図から, 対称性を利用して
0
-1
ly=f(x)
a+1 x
a²-1
関数y=f(x)のグラブ
とy軸との交点がx軸より
下側にあるか上側にあるか
面積の求め方が異なる。
→場合分けが必要。
(1)y
L
し
る
Ca+1 (2-2ax+α2-1)dx=-
=-2S '{(x-a)2-1}dx
◆計算しやすいように変形。
Ja+1
x-
=-2x
3
なぜこれ?
S(x-a)³ dx=(8-a4
3+C
を利用する。
--a³+2a+1
[2] α-10 すなわち 1 ≦a のとき
[1] と同じように, x≧0 のとき, f(x) =0 とすると
{x-(a-1)}{x-(a+1)}=0
a≧1 のとき, a-1≧0, a+1≧0 であるから
x=a-1, a +1
y ↑
y=f(x)
よって, 右の図から, 対称性を利用し
て
a²-1
-a+1
a-1
s=2{S '(x-2ax+α²-1)dx
Ca+1
+ Sa - (x²-2ax + a²-1)) dx)]
Ja-1
Ca-1
=2ff ((xa)-1}dx
-Sen(x-(a-1)}{x-(a+1)}dx]
-a-1
=2x{(x=ax]+2x/(a+1-(4-1)}
2
3
=a³-2a+4
[1], [2] から
0≦a <1 のとき S=-
=-4a²+2a+1
3
1 ≦α のとき
S= a³-2a+4
165 〈放物線と円で囲まれた図形の面積〉
(1) 円の接線の性質を利用
O
x
a+1
し

Answer 1

Yoshimarukun

簡易説明
y=f(x)、y=g(x)について
f(x)≧g(x)のときf(x)とg(x)に囲まれる領域の面積は
f(x)-g(x)を積分したものです。

今回g(x)がy=0です。
位置関係はg(x)(=0)≧f(x)です。

対称性より放物線とx軸とy軸によって囲まれた部分の面積を2倍すれば良いので

2(g(x)-f(x))=2(0-f(x))=-2f(x)

を積分しています。
このときに出る-2です。