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解答
基本
31 線分の垂直に関する証明
00000
0A+OB+OC=OHである点H をとると, Hは△ABCの垂心である。
(1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=2OG
ABCの重心を G, 外接円の中心を0とするとき、次のことを示せ。
[類 山梨大 ]
基本 25 基本 71
(1) 三角形の重心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交
点である。
AH 0, BC 0, BH = 0, CA ±0 のとき
AH IBC, BHICA AH・BC=0, BH・CA=0
...... A
であるから, 内積を利用して, A [(内積) =0] を計算により示す。
0は △ABCの外心であるから,|OA|=|OB|=|UC| も利用。
CHART 線分の垂直 (内積)=0を利用
(1) ∠A=90° ∠B=90° としてよ
い。このとき,外心Oは辺BC,
CA上にはない。
OH=0A+OB+OCから
AH=OH-OA=OB+OC
ゆえに AHBC
=(OB+OC) (OC-OB)
|=|OC|-|OB|= 0
同様にして
B
BH・CA=(OA+OC) ・(OA-OC)
=TOA|-|OC = 0
また,① から AH=OB+OC=0, BH=OA+OC0
よって, AH = 0, BC≠0, BH ≠0, CA ¥ 0 であるから
AH BC, BHICA
すなわち AH⊥BC, BHICA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
このとき,外心は辺AB
上にある (辺AB の中
点)。
ABC=OC-OB (分割)
△ABCの外心 0→
OA= OB=OC
(数学 A)
検討
635
外心, 重心, 垂心を通る直
線 (この例題の直線
OGH) をオイラー線と
いう。ただし、正三角形
は除く。
1
位置ベクトル ベクトルと図形
(2)OG = OA+OB+OC
3
OA+OB+OCOH 5
=
から OH=3OG
<(1) から
3
OA+OB+OC=OH
ゆえに
GH=OH-OG=2OG
よって, 3点 0,G, Hは一直線上にあり GH=2OG
P
31
右の図のように、△ABCの外側に
となるように, 2点P,Qをとる。
AP=AB, AQ=AC, ∠PAB=∠QAC=90°
更に、四角形 AQRP が平行四辺形になるように点Rをと
B
ると, ARIBC であることを証明せよ。
