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2次方程式
-2a)
ここで1233であるから,① を満たすすべ
夏少
の範囲にあるためのa, bの条件を求める。
さあ
次のようになる。
てのαに対して②は満たされるから, 条件2が成
り立つ。
<0]
+
以上から, b=4αであり, 求めるαの値の範囲は
22-1
10
c+
f(x)=(x+1)+6-10/2
2つの実数解をもち,それらがともに -1≦x≦1
3x2+2ax+b=0 の判別式Dについて, D>0 から
f'(-1)0,f'(1) ≧0から
3
α-36>0....... ①
3-2a+b≧0 ②, 3+2a+b≧0 ...... ③
であるから, 放物線y=f'(x)
a
bt
1
つための条件は、
なることである。
260 関数の増減
国公立大発展レベル
ゆえに
の軸の方程式はx=-1/3で
-3<a<3 •••••• ④
-1<-
出題テーマと考え方
立)
1<4052
3次関数 f(x) 常に増加する条件 → 基本問題 90
→ 2次不等式f'(x) ≧0の成立条件の問題に帰着。
(1) f(x)=1/23ax2+(a+b)x2+(b+1)xから
f'(x) =2ax2+2(a+b)x + b + 1
関数 f(x) が常に増加するための条件は,
極大
表せ。
すべてのxに対してf'(x) ≧0 ...... (A)
が成り立つことである。
[大]
0
2a
[1] α=0 の場合
f
いいが含まれてい
0<y<1であ
f'(x) =2bx+6 +1
(A) を満たすのは, b=0のとき。
[2] α≠0の場合
f'(x) =0の判別式をDとすると
=(a+b)2-2a(b+1)
(A) を満たすための条件は
a>0 かつ D≤O
よって、条件を満たす点 (a, b) の存在範囲は、 ① ②
③④の共通範囲で、 右の図の斜線部分。
ただし,境界線は, 放物線を含まず、他は含む
B
4a
*258 αを実数とし, 関数 f(x)=x^+x3+(a+2)x2 を考える。
3
3
a
[25 東北大〕
① 関数 f(x) が極大値をもつようなαのとりうる値の範囲を求めよ。
関数 f(x) がx=0で極大値をもつようなαのとりうる値の範囲を求めよ。
*259a>0,b>0 とする。 座標平面上の曲線 C:y=x3ax + b が,次の2条
件を満たすとする。
条件1:Cはx軸に接する。
条件2: x軸とCで囲まれた領域 (境界は含まない)に, x座標とy座標がとも
に整数である点がちょうど1個ある。
[20 東京大〕
直の
JI
となるから, D
する。
①のとき
T
D≤0 から a2+b2-2a≦O
ゆえに (a-1)2+62≦1
ただし, a>0であるから
(a, b)=(0, 0)
せ
- s
[大]
をαで表し,αのとりうる値の範囲を求めよ。
bt
1
ごくた
[1], [2] より, 求める条件は
(a-1)2+62≦1
0
2 a
よって、 右の図の斜線部分
のようになる。
was
ただし,境界線を含む。
泉 l
(2) f(x) がx> -1において常に増加するための条件
[1] b=0のとき
常に f'(x)=1
よって, (B) を満たす。
どっちが
は,
原点から遠の
確認
x> -1において常にf'(x) 20
が成り立つことである。
α=0であるから
......(B)
f'(x) =2bx+b+1
=は、 (1) ≦1
つ
大〕
2
260 関数 f(x) = 1/2ax+(a+b)x2+(b+1)x を考える。
X 関数 f(x)が常に増加するための a,bの条件を求め,その範囲を ab 平面上
に図示せよ。
a=0 のとき,関数f(x) が x>-1において常に増加するためのbの条件
を求めよ。
関数f(x)がx>1において常に増加するための a, b の条件を求め,そ
の範囲を ab 平面上に図示せよ。
[九州大〕
36 関数の増減 極値 75
D=(a+b)-2a(b+1)=0
206--20=0
