(3)教えてください。どういった考え方で多項定理がなりたっているのかしりたいです。

(1 (71) 0 ¥1280 9/289 (1) 次の式の展開式における〔 〕 内の項の係数を求めよ. (1)(x-2)〔3〕」 (ii) (2x+3y) 5 (x³y2] (2)等式 nCo+ni+n2+..+nCn=2" を証明せよ. (3)(x+y+2z) を展開したときのry'zの係数を求めよ.

なぜ数値代入法は吟味が必要で、係数代入法は吟味は必要ないのでしょうか？

22 第1章 式と証明 基礎問 11 恒等式 9/24%25 (1)x 次の各式がェについての恒等式となるような定数a, b, c の値 (2)xxx(1) 20 と3つの文字だから 3つ式をたてる ①に,x=0, x=1, x=2 を代入して b=c a+b+1=0 (a=-3 1+a+b=0 .. [8+2a+b=c +2 a=-3 b=c .. b=21 23 St 第1章 を求めよ. (1)x+ax+b=(x-1)(x+c) (2)a(x-1)2+6(x-1)+c=2x²-3.x+4 の等式は, 恒等式と方程式の2つに分けられます. 精講 恒等式 : すべての数xで成りたつ等式 方程式: 特定のæでしか成りたたない等式 (この特定のェを解といいます) 恒等式の問題の考え方には次の2通りがあります。 I. 係数比較法 ar2+bx+c=ax2+bx+c' がェについての恒等式ならば, II. 数値代入法 a=α', b=b',c=c' 等式がすべてので成りたつので, rに0とか1とか具体的な数値を代入 する. 逆に,このとき, 左辺 =x-3+2, +6 c=2から ◆吟味が必要 (右辺)=(x-1)(x+2)=(x²-2x+1)(x+2)=x-3+2) よって, 適する. (2) (解I) (係数比較法Ⅰ) (左辺)=a(x²-2x+1)+6(x-1)+c=ax²+(b-2a)x+a-b+c 右辺と係数を比較して a=2 b-2a=-3 la-b+c=4 (係数比較法Ⅱ)=X-1 (解Ⅱ) x=t+1 とおくと a=2 b=1 c=3 X-1のままでは楽しちゃうと…?? (左辺) =at2+bt+c, (右辺)=2(t+1)2-3(t+1)+4=2t°+t+3 係数を比較して, a=2, 6=1,c=3 (解III) (数値代入法) a(x-1)2+6(x-1)+c=2x²-3x+4 ... ② ②の両辺に,x = 0, 1, 2 を代入して ?? ただし、この方法で得られた条件は, 恒等式であるための必要条件 (I・A25) なので、解の吟味 (確かめ) をしなければならない. どちらの手段によるかは状況によるので善し悪しは一概にはいえませんが, ここでは,2問とも両方の解答を作っておきますので, 比較してください. 解答 (1) (解Ⅰ) (係数比較法) (右辺)=(2-2x+1)(x+c)=m+(c-2)x2+(1-2c)x+c 左辺と係数を比較して [a-b+c=4 c=3 _a+b+c=6 [a=2 b=1 _c=3 逆に,このとき, 左辺 =2(x-1)2+(x-1)+3=2x2-3x+4=右辺 となり適する. ポイント 恒等式は次の2つの手段のどちらか I. 係数比較法 (吟味不要) Ⅱ. 数値代入法(吟味必要) ◆吟味が必要 c-2=0 1-2c=a |c=b (解Ⅱ)(数値代入法) [a=-3 b=2 Lc=2 +ax+b=(x-1)(x+c) ...... D 演習問題 11 Dan 3-9x2+9x-4=ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cr+d がェの どのような値に対しても成りたつとき, a, b, c, d の値を求めよ.

2つの問題について等号がなりたつ条件の考え方がわからないです。 よろしくお願いします

3a>0, b>0のとき,下の不等式について,次の問い (a+b+29 a (1) 上の不等式が成り立つことを証明しなさい。 (2) 等号が成り立つ条件を答えなさい。 数理技能検定(2次)対策 【解き方 (1) (a+1)(b+1)=-ab+1 4 +5 ab - 展開する。 4 ab ->0 だから、 >06>0より, ab>0 相加平均と相乗平均の大小関係から, 式と証明 a>0b>0のとき. a+b -≧vab 2 ab+ ab 4≥2√ab. 4 ab =2.2=4 4 ab+ +54+5=9より ab (2)等号が成り立つのは, ab= 4 == ab すなわち, (ab)=4のときであり. (a+1)(6+14)≧9(証明終) a>06>0 だから, ab=2のときである。

この問題でこうやって解くのはダメなのか教えて欲しいです！それとどうしてa-bは実数と言う必要があるのかと、青い波線のところは必要なのか教えてください！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1)a0b0 のとき a+b√ab 0<(1-8) (1-6) 2 が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つときはどういうときかを 答えよ.××△ 0+0<1+do (2)a>0,b>0 のとき, b であることを示せ.xxx 開閉 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'>B2 を証明するとよい場合があります. A≧0,B≧0 であることがいえれば, 借り立つ A'B' ⇒A>B ...... が成り立つので,A'>B2が証明できれば,A>B は証明できたことになり *)は一般には成り立たないことに注意してください. A, B が 0 以上 はない場合は,A=-2, B=1 のような反例が作れます) . (1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます。 解答 ath\2 ないことに 左辺(右辺 = (a+b)-(ab)240円ない 考え方なのです。 a²+2ab+62 -ab- 4 0(1-6) a²-2ab+b² a2+2ab+62-4ab 4 ところ (a-b)2 4 -≧0 (a-b は実数より) よって、 (左辺) (右)2 20,620 より(左辺)20(右辺)なので A≧0, B≧0 であれば A2≧B2 ⇒ A≧B (左辺) ≧ (右辺) 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち a=bのときである.

高次式の問題です。 エ、オを求める際ですが なぜここで〜で求めたものと符号が変わるのでしょうか？ －2がなぜ式に当てはめると2になるのかわかりません。 よろしくお願いします

第8章 式と証明 高次方程式 8/3 △ 実戦問題 ■ 1 基本 8分 a,b を実数とする。 x についての3次方程式 x3+x2+ax+b = 0 解答・解説 異 13 (+) ( p.67 ① があり ① はx=-1+2i を解にもつ。 このとき,x= で割り切れる。 アイ ウも①の解であり、①の左辺はx2+ I x+ オ ①の左辺をx2+1 る。よって, a=ク I ]x+ オで割ると、余りは (a - カ ケコ であり、①の実数解はx= 1)x+6+ キ であ サである。

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

解説して欲しいです

数学Ⅱ: 式と証明, 複素数と方程式 x>0,y>0,xy=4のとき,x+yの最小値を求めよ。 P 25

この問題でどうしてa-bは実数なのか教えてほしいです！！a≧0、b≧0のときはどんな場合も実数なんですか！

32 練習問題 9 (1) a≧060 のとき った。 2 a+√√ab (1-8) (1-0) が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つときはどういうときかを 答えよ. (2)a>0,60 のとき, (2) ( が b 6+1/22 a a b であることを示せ. 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合、 両辺を2乗した 不等式 A'B' を証明するとよい場合があります AB であることがいえれば, A²>B² A>B ..(*) が成り立つので,A2> B2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください. A,Bが0以上 の数ではない場合は, A=-2, B=1 のような反例が作れます)。 (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 る得ない なのです。 (1)左辺(右辺)-(a+b)-(ab)* a2+2ab+62 -ab 4 (1)a²+2ab+b²-4ab a²-2ab+b² 4 4 (a-b)2 4 -≧0 (a-b は実数より) よって, (左辺) (右) A≧0, B≧ であれば a≧0620より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので A'≧B2 A≧B (左辺) (右辺) 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち a=b のときである. 7 ①

（3）の下線部を引いて？が書いてあるところの解説が理解できないです できれば具体例を交えて教えていただけると助かります

間」 と い くま 出 上げ す リ 司 10 第1章 式と証明 基礎問 第1章 • 42項定理 多項定理 7/0 (2)x8x3131xxx (1) 次の式の展開式における〔〕内の項の係数を求めよ. (i) (x-2) (x³] (i) (2x+3y)5 (x³y²) (2)等式 nComi+nC2+…+nCn=2" を証明せよ. (3)(x+y+2z)を展開したときの'zの係数を求めよ。 精講 2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは I. 2項定理の使い方の代表例である係数決定 Ⅱ.2項定理から導かれる重要な関係式 以上2つについて学びます。 2項定理とは、 等式 (a+b)=n Coa"+"Ca1b+…+nCka-kbk+..+nCnb” のことで, Cka"-b" (k=0, 1,, n) を (a+b)” を展開したときの一般項といいます。 解 HO (1) (i) (2)' を展開したときの一般項は Cr(x)^(-2)=Cr(-2)7.x" r=3のときが求める係数だから 7×6×5 7C3(-2)= ・24=560 3×2 参考 次に (x+y)* を展開したときの一般項は Cirky-l したがって(x+y+2z) を展開したときの一般項は 6Ch Ciry-(22)6-k =26-6Cn* Cix¹y-12- 11 11 定数の部分と文字式 の部分に分ける よって,r'y'zの係数は k=5,i=3 のときで 216C55C3=26C1・5C2 =2・6・10=120 ポイント (a+b)" =nCoa"+nCian-16+... +nCkan-kbk+…+nCnbn <Crx7-(-2) でも (3)は次の定理を使ってもできます。 多項定理 (a+b+c)” を展開したときの abc' の係数は n! p!g!r! (p,g,r は 0 以上の整数で, p+g+r=n) (x+y+2z) を展開したときの一般項は p!q!r!xy(22)'= p!q!r! x'y'z' p=3g=2,r=1のときだから求める係数は (p+g+r=6) よい (別解) 6! 26! (Ⅱ) (2x+3y) を展開したときの一般項は 5C,(2x) (3y)5--5C, 235. xy-r r=3のときが求める係数だから 5C3・23・32= 5×4×3 3×2 .23.32=720 2.6! =120 3!2!1! 5Cr(2)-(3y) で 注 1. 多項定理を使うと, 問題によっては,不定方程式 p+g+r=n を解く 技術が必要になります. もよい (2)(a+b)=CanCam-16+…+nCn-146"-1" Cnb" の両辺に a=b=1 を代入すると (1+1)^=„Co+„Ci+…+nCr ...nCo+nC+... +nCz=2" (3)(x+y+2z)を展開したときの一般項はCh(x+y)(2z)6- 注2. (1) (ii)のようにx,yに係数がついていると, パスカルの三角形は使いに くくなります。 演習問題 4 (1) (32y)におけるryの係数を求めよ. (2) Co-C+C2-nC3+..+(-1)"C=0 を証明せよ.