写真の奇数の数列の項数がなぜnとわかるのか、そして末項は2n－1にもなるのではないかという2点を聞きたいです

Hide た D いろいろな自然数の数列の和 第1節 数列とその和 15 自然数の数列1,2,3, ......, n は,初項 1,末項n, 項数nの等差 数列であるから,その和は次のようになる。 第1章 1 1+2+3+………+n=n(n+1) 数列 2 5 また,正の奇数の数列 1, 3, 5, 2n-1は,初項 1,末項 2n-1, 項数 n の等差数列であるから,その和Sは次のようになる。 上なぜ? 1 S= n{1+(2n-1)}=n2 偶 2+4+…+ 2 すなわち 終 練習 12 1+3+5+......+(2n-1)=h 正の偶数の数列 2, 4, 6, ......., 2n の和を求めよ。 =n(n+1) uni

途中式お願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

標準例題7(1) 初項が10,末項が200 和が2945 である等差数列の項数nと公差 d を求め よ。 (2) 初項から第10項までの和が555 で,初項から第20項までの和が 810 である等差数列の初項 αと 公差 d を求めよ。

赤線以後のところの説明お願いたします なぜnを割るのですか？ また求める和でΣn＝20となる理由もわかりません

ues. 454 基本 例題 30 群数列の応用 Onsens 0000 ・の分数の数列について 1'2' 2 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3'3 11 4'4'5'・・・・ 3'3'4'4'4 初項から第210項までの和を求めよ。 [類 東北学院大 ] 指針 分母が変わるところで区切りを入れて, 群数列として考える。 分母: 1|22|3, 3, 34, 4, 4,45, 1個 2個 3個 4個 .... 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子: 12,34,5,6-7,8,9,10|11 ...... 分子は,初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子 は等しい。 まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 12 5 34 解答 12' 23 , 3'3 9 10 11 8 67 4' 4 45 第1群から第n群までの項数は 1 1+2+3+....+n=1n(n+1) 2 第210項が第n群に含まれるとすると 1/2(n-1)n<210≦1/12m(n+1) よって (n-1)n<420≦n(n+1) ① もとの数列の第項は 分子がんである。 また 第群は分母がんで、 個の数を含む。 ■これから、第九群の の数の分子は 11/n (n+1) 重要 例題 3 自然数 1, 2, 3. (1) 左からmi 然数をmを (2)150は左か るか。 指針 群数列 解答 (1) 左 のm (2) 15C 注目 並べられ 1|2, (1) ①の 左から 番目の (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である から,①を満たす自然数nは n=20 S また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数 である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は ・20・21=210 1/171211n(n-1)+1}+(n-1)・1}÷7 = 1½n (n²+1) ÷ n = n2+1 2 2 ゆえに, 求める和は 20k2+1 20 1/20・21・41 2*²+1=1 (2² + 21 ) = 1 (20-21- +20) =1445 k=1 k=1 (2)150 122 < は 第12 は第n 群の数の分 13群 子の和→ 等差数列 n{2a+ (n-1)] }] また、 よっ 練習 ③ 30 2の累乗を分母とする既約分数を、次のように並べた数列 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 151 2' 4' 4' 8' 8' 8' 8' 16' 16' 16' ' 16' 32' について,第1項から第100項までの和を求めよ。 P.460 EX 置に 練習 自然数 ④ 31 (1) 左 数を (2)15

この３つの問題が分かりません💦 教えてください。お願いします🙇‍♀️

3 次の数列の項を求めよ。 また、 初から項までの和を求めよ。 1-2, 2-7, 3-12, 4-17, .. 4 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 1 1 1 1 1 ☆☆☆☆ 2.5' 5.8' 8.11' 11.14' 14-17' 次の和Sを求めよ。 S=1.1+3.2+5-22+7-23++(2n-1)-2-1

この問題の赤線部分なんですが、2aのaは初項だから第ｎ群の初項を入れればいいと思うんですが、赤線で囲った式だとあくまで第ｎ群の初項が全体の数列の何番目かを示す式であって第ｎ群の初項の具体的な値ではないと思うんですが、なぜ2aの部分に入れられるのですか？教えてください。

550 基本 例題 112 群数列の応用 1 2 3 45 初項から第210項までの和を求めよ。 6 7 8 1'2'2'3'3'3'4'4'4'4 10 9 11 5 [類 東北学院大〕 ・の分数の数列について 基本 指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。 分母: 1/2,2/3, 3, 3/4,4,4,4/5, 1個 2個 3個 4個 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子:1/2,3/4, 5, 6/7, 8, 9, 10 | 11, ...... 分子は, 初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子は しい。 まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 解答 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 8 9 10|11 45' 12 34 5 6 7 12'23'3'34'4'4' もとの数列の第項は分 子がんである。また、第 群は分母がんで、個の を含む。 これから,第n群の最後の 重要 例題 自然数 1,2, (1) 左から 然数をm (2)150は るか。 指針 群数列 解答 (1) 左 番目 (2) 19 して 並べられた 1/2,3, (1)①の 第1群から第n群までの項数は 1+2+3+…+n=1/23n(n+1) 第210項が第n群に含まれるとすると 108-8-(1-x) + 数の分子は1/27(n+1) (n-1)n<210≤n(n+1) 第峨野の初項 目の位置 よって (n-1)n<420≦n(n+1) ・・・・・ ① (2)150が 左から m (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 であるから, ①を満たす自然数nは n=20 1 また,第210項は分母が20である分数のうちで最後の数であ る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は ・20・21=210 2 122<15 第12君 群の1 ゆえに, 求める和は k2+1 1 = k=1 2 2 \k=1 =1445 1/12712.12m(n-1)+1}+(n-1) 1)+n (x²+1)=(20-21-41 +20) n²+1 ÷n= 2 は第n群の数の分 の和 等差数列の和 また、 よって (20・21・41+20) n(2a+ (n-1)d) ある。 練習 ③ 112 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列 1 3 1 3 5 7 135 2'4'4'8'8 8'8' 16' 16' 16' について,第1項から第100項までの和を求め 15 1 16' 32' ****** 類 岩手大 練習 113

赤丸のところでどうしてイコールがつくのでしょうか？ ここがイコールならa＝27もあり得るので最小値も最大値も27になると思うのですが、、

④ EX 自然数からなる等差数列がある。 この等差数列の項の最大値は 27 で, 項の和は75である。こ [岐阜薬大] ③7 HINT] 等差数列の初項および末項は、その数列の項の最小値または最大値である。 項の最小値をα,項数をnとすると 1/12n(a+27)=75 また, 0<a≦27 であるから 27<a+27≦54 したがって (n, a+27)= (5,30), (350) よって (n, a)=(5, 3), (3, 23) n=5, a=3のとき、次の場合がある。 [1] 初項が3, 末項が 27 項数が5の等差数列 [2] 初項が 27, 末項が3, 項数が5の等差数列 <n(a+27)=150, 27 <a +27≦54 から a+27=30,50の2通り が考えられる。 ←第5項が27 [1]のとき,公差をd とすると 3+ (5-1)d=27 ゆえに d=6 よって,求める数列は 3, 9, 15, 21, 27 [2] のとき,公差をd とすると 27+(5-1)d=3 ゆえに d2=-6 よって, 求める数列は 27, 21, 15, 9, 3 2 n=3, a=23 のとき,上と同様に考えると, 求める数列は 23 25 27 または 27, 25, 23 23,25,27 ←第5項が3 ← 「初項 23, 末項 27, 項 数3の等差数列」または 「初項 27, 末項 23, 項数 3の等差数列」。

(1)の問題が分かりません… 解答の1行目の式の答えはなぜ1/2(n-1)nになるんですか?…

例題・6 群数列 正の奇数を小さい方から並べた列を次のような群に分け, 第n群にはn個の 数が入るようにする。 節 13, 5 7, 9, 11 | 13, 15, 17, 19 |... 第1群 第2群 第3群 第4群 (1) 第n群の最初の項を求めよ。 (2)第n群の項の総和を求めよ。 視点 第群の最初の項は、もとの奇数の列の何番目だろうか。 解 (1) 2 のとき, 第1群から第 (n-1) 群までに含まれる項の個数は 1+2+3++(n-1)=1/2(n-1)n02 よって、第群の最初の頃は、もとの奇数の列の 1/12 (n-1)n+1=1/12 (㎥-n+2) 番目である。 番目の奇数は2k-1であるから, 求める数は (12.12 (m-n+2)-1=n-n+1 これは, n=1のときも成り立つ。 (2)第n群に入る数は初項n-n+1, 公差2, 項数nの等差数列とな るから,その総和は 2 1/2n{2(n-n+1)+(n-1) 2}=w

｢n=k+1とおくと｣という部分が分かりません‪💧‬

思考プロセス 例題 274 2つの 初項1, 公差2の等差数列{a} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。 (2) 数列{a} {bm}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで (1) 数列{an}と{bm} の一般項をそれぞれ求めよ。 きる数列{cm} の一般項を求めよ。 (2) 未知のものを文字でおく da {a}の第1項と{bm} の第項が等しいとする。 ⇒21-1=3m-2 (l,mは自然数) 21-3m=1の自然数解 1次不定方程式 下 Action » 等差数列{an}, {bn} の共通項は,a=bmとして不定方程式を解け 解 (1) 数列{a} の一般項は an=1+(n-1)・2=2n-1 数列{6}の一般項は bn=1+(n-1)・3=3n-2 (2){a} の第1項と {bm} の第m項が等しいとすると,. a₁ = bm 21-1=3m-2より 2l-3m = -1 l=1,m=1はこれを満たすから 2(1-1)=3(m-1) ... ・① 21-3m=-1 2と3は互いに素であるから, l-1は3の倍数である。 2・13・11 よって, l-1 = 3k (kは整数) とおくと 2(1-1)-3(m-1)=0 l=3k+1 これを①に代入して整理すると m=2k+1 lmは自然数より k=0,1,2, ... nは自然数より, n=k+1 とおくと k=n-1- ゆえに,l=3n-2 (n=1,2,3, ...) であるから (別解 =2(3n-2)-1=6n-5 Cn=a3n-2 2つの等差数列の項を書き並べると {az}:1,3,5,7,9,11,13, {6}:1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, よって、求める数列{cm} は, 初項1の等差数列となる。 公差は2つの数列の公差2,3の最小公倍数 6である から 19, 15, 17, 19, ... 3k+1≧1 より k≧0 12k+1≧1より 20 nとんの対応は,不定 方程式 ①を解くときに いた整数 1, m の組によっ て変わる。 具体的に考える {an}, {bn} を具体的に書 き出して, 規則性を見つ る。 ける。 {cm}:1, 7, 13, 19, … Cn=1+(n-1)・6=6n-5

数列の問題で第k項を求める機会は多々あると思うのですが、写真のように色々な出し方があっていつどの出し方をすればいいのですか？

基本 例 26 分数の数列の和の応用 00000 次の数列の和Sを求めよ。 1 1 1・2・3' 2・3・4'3・4・5' D |指針 解答 [類 一橋大 ] n(n+1)(n+2) 1 n+√n+2 (n≧2) 基本25 ②で作った式にk=1,2,3,..., n を代入 1+√3 √2+√4'√3+√5 ① 第k項を差の形で表す。 3辺々を加えると、隣り合う項が消える。 (1)基本例題 25 と方針は同じ。 まず,第k項を部分分数に分解する。 分母の因数が 3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。 を計算すると k(k+1) (k+1)(k+2) 1 よって = k(k+1)(k+2) 2lk(k+1) 2 k(k+1)(k+2) (k+1)(k+2) (2) 第k項の分母を有理化すると, 差の形で表される。 (1)項は 2)) 部分分数に分解する。 +1(+2)=1/21s(k+1) (+1)(k+2) であるから 6=1/11(1/122/2)+(2/13)+(3/12/15) 1 2・3 3・4 (n+1)(n+2) +{(n+1)(n+1) (n+2)}] = {1-2 (n+1) (n+2)} 21-2 (n+1)(n+2) _1 (n+1)(n+2)-2 n(n+3) = 22(n+1)(n+2) 4(n+1)(n+2) (2)第ん項は √k-√k+2 k+√k+2 (k+√k+2) (√k-vk+2 ) 1/12 (√k+2-√k) であるから S=1/2((-1)+(VL-√/2)+(V-V) ......+(√n+1-n-1)+(n+2) =1/12 (√n+I+vn+2-1-√2) 途中が消えて、最初と最後 だけが残る。 検討 次の変形はよく利用される。 1 (k+1)(k+2) 1 == {k(k+1) ¯¯ (k+1)(k+2) 分母の有理化。 途中の±√3+√4. ±√√5, √n-1 √が消える。

なぜn群のすべての和を求めるときに÷nをしているのでしょうか

54 正 30 群数列の応用 1 2 3 4 5 9 78 6 10 11 ' 1'2 2 3 3 3 00000 4'4'4'5 の分数の数列について 初項から第210項までの和を求めよ。 [類 東北学院大 ] 指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。 分母: 1|22|3,3, 34, 4, 4, 45, 1個 2個 3個 4個 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子: 12,34, 5, 67, 8, 9, 10 | 11, 基本29 分子は,初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子 は等しい。 まず第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 解答 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 2 34 5 6 7 8 9 10|11 2'23'3' 34'4'4'4 Tal 第1群から第n群までの項数は 1 1+2+3+…………+n=1n(n+1) 2 第210項が第n群に含まれるとすると (n-1)n<210≤n(n+1) よって (n-1)n<420≦n(n+1) ① もとの数列の第項は 分子がんである。また, 第ん群は分母がんで, k 個の数を含む。 これから,第n群の最後 の数の分子は n(n+1) (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380,20・21=420 である から, ①を満たす自然数n は n=20 また,第210項は分母が 20である分数のうちで最後の数 である。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は +-12-16(-1)+1)+(-1))+ = n(n²+1) + n = n²+1 ゆえに, 求める和は k=1 k2+1 =1445 20 \k=1 2 ･・20・21=210 は第n群の数の分 子の和等差数列の和 +1)=(20-21-41 n(2a+ (n-1)d) 6 + 20 )