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基礎問
3
188
124 2 項間の漸化式 (Ⅲ)
(2)=1, an+1=3a+4n (n≧1) で表される数列がある。
(1) an+2n=bm とおくとき. b. bs41 の間に成りたつ関係式を
求めよ.
(2) bm を求めよ.
開 124
= pantan+r (p≠1) • ① 型の漸化式の解き方には
3通りがあります。
Ⅰ. an+an=b, とおいて, b+i= pbs+g 型になるように、αを決める
精調
II. a.tan+β= b, とおいて, bsta=rb 型になるように、α.βを決める
番号を1つ上げて as+z= pas+g(n+1)+r②
を用意して ②①を計算し、
α+1-α = b とおいて、 階差数列の考え方にもちこむ
この問題では,Iを要求していますので、II. の解答は を見て下さい
解答
(1) an=b-2nan+1=5x+1-2(n+1) だから, これらを与式に代入して
bn+1−2(n+1)=3(bm-2n) +4n
…. b+1=36+2
(2) 6 +1=36+2 より 6 +1+1=3(b+1)
ゆえに, 数列 (6+1} は,
初項 b1+1= (a,+2)+1= 4, 公比3の等比数列.
よって, bm+1=4.3"-1
bn=4.3"-1-1
an-bn-2n-4-3-¹-2n-1
(3)
(3) an を求めよ.
参考
(その1)(ⅡIの考え方で)
an+an+B=b. とおくと,
an-bn-an-B, anti-ba+1-a(n+1)-B
与えられた漸化式に代入して
bs+1-α(n+1)-β=3(bm-an-β)+4n
○ ポイント
b₂=4.3"-1
よって、a=bュー2n-1=4-3-2n-1
E
注 an+an+B = b, とおく理由は, 漸化式の中の4n がじゃまで、こ
と
an + に分配することによって4n を視界から消すことを考
えているからです。
bn+1=36+(4-2a) n-2β+α
ここで, 4-2a=0, -28+α=0 をみたす α, βは,α=2, 8=1
よって, +2n+1= b, とおけば, bn+1=3bs, bs=4
∴. bm+2=8.3-1
次に, n ≧2のとき
(その2) (Ⅲの考え方で)
[x+1=3an+4nⓘ より,x+2=30si+4(n+1) ②
②-① より, an+2an+1=3(4s+1-a)+4
ここで, an+2a=b とおくと
bat=30+4,b=a2-a=6 (42=3a+4=7)
よって, bn+1+2=3(b,+2), b1+2=8
よって
R-1
an= a₁ + Σ b=1+ (8-3-¹-2)
A-1
n-1
A-1
b=8-3-1-2
a=3a+2 より
a=-1(123
=1+8.3g-11-2(n-1)=4-3"-1-2m-1
= paste
[ 123
121 ポイント
1 121
189
117 118
これは,n=1のときも含む.
Ⅲの考え方の解答は,左端に示したように.12.3°の3つの部
分から成りたっています。 それぞれの部分はすでに学習済みです。
漸化式は,おきかえによって、最終的に次の3型のい
ずれかにもちこめれば一般項が求まる
Ⅰ. 等差 Ⅱ. 等比 Ⅲ. 階差
7 (a)
第7章
