重要 例題20 因数分解 (²+b+c-3abcの形)
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(1) a3+b3=(a+b)^-3ab (a+b) であることを用いて, a' +6+c-3abc を因
数分解せよ。
(2) x3+3xy+y-1 を因数分解せよ。
指針
解答
(1)a+b=(a+b) -3ab(a+b)...... ① を用いて変形すると)
a+b+c-3abc=(a+b)^-3ab(a+b+c-3abc=(a+b)^+c-3ab((a+b)+c}
次に,(a+b)^2+c について, 3乗の和の公式か等式 ① を適用し、 共通因数を見つけ
る。
(2) (1) の結果を利用する。
(1) a³ + b³ + c³-3abc
= (a³ + b³)+c³-3abc C2##
++ をまず変形。
(a+b)" とのペア。
a+b+cが共通因数。
( )内を整理。
=(a+b)-3ab(a+b+c-3abc (共
=(a+b)^+c-3ab{(a+b)+c} ......
******
(2) x3+3xy+y²-1
=(x+y^-1)+3xy
=x³+y³+(-1)³-3x-y.(-1)
={(a+b)+c}{(a+b)^²-(a+b)c+c2}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b2-ca-bc+c²-3ab)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) SS
別解 (*) を導くまでは同じ。
a³ + b³ + c³-3abc
={(a+b)+c}"-3(a+b)c{(a+b)+c}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b+c)²-3(a+b)c-3ab}
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 8—(b+x)(8+1 (=(A+c)³-3Ac(A+c)
を再び用いる。
(*)
=(x+y-1)(x-xy+y^+x+y+1)
T
POINT (1) の結果は覚えておくとよい。
={x+y+(-1)}{x2+y²+(-1)'-x*y-y・(-1)-(-1)x}
1a+b
<a+b=Aとおき, 等式
FREOL
A³ + c³
(S
CRUES
SOSSEXLE
<a=x, b=y, c=-1を
(1) の結果の式に代入
a+b+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
