（3）の青線を引いたところです。 なぜ範囲を絞ってx≠0の時の範囲を求めているのかがわかりません。教えていただきたいです

基本 例題 43 関数の連続 不連続 00000 次の関数f(x) が, x=0で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし、 [x] (ガウス記号) は実数xを超えない最大の整数を表す。 (1)f(x)=x3 (3) f(x)=[cosx] CHART & SOLUTION (2) f(x)=x2(x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6 f(x)が x=α で連続 ⇔ limf(x)=f(a) x-a f(x)がx=aで不連続xaのときのf(x) の極限値がない または limf(x)=f(a) xia limf(x), f(a)を別々に計算して一致するかどうかをみる。 ローズ 2章 5 関数の 解答 (1) limf(x)=0,f(0) = 0 から x→0 limf(x)=f(0) x→0 B (1) f(x)↑ よって、関数 f(x) は x=0 で連続である。 (2) limf(x)=0,f(0)=1 から f(x)↑ x→0 -1 limf(x)=f(0) 1 [01 -1 x0 よって、 関数 f(x) は x=0 で 10- 不連続である。 (3)xx0とすると 範囲を定めるのはガウスの値を1つに定めるため? O 1 x グラフでは、x=0 でつ ながっているかどうか をみる。 0≤cosx<1 (3) f(x)A よって [cosx]=0 ゆえに また よって lim[cosx]=0 x→0 f(0)=[1]=1 limf(x)=f(0) X18 したがって, 関数f(x) は x=0で不連続である。 極限値は口に限りなく近くではとらないこと 最大の整数を表しているから口を下回らないように すること 1 12/2 2 0 ガウス PRACTICE 43

横向きですみません赤線引いている部分なんでこうなるのか分からないので教えて欲しいです。

(3) 関数f(x) [cosx] において 0瓜cosx<1 とき f(x)= [cosx]=0 - x<0.0<x よって ゆえに また limf(x)=0 3-0 (0)=[cos0]=1 したがって, limf(x)=f(0) であるから, X-0 f(x)= [cosx] はx=0で不連続である。 B 連続関数の性質 練習

数3の増減表からグラフを書くときについてなのですが、写真の左側のような増減表の場合は、下のグラフのように書けるが(x→-0の時、極限は－∞は計算しなくてもわかる)、右側の増減表の場合はxを無限に飛ばしたときの極限は、自分で計算しなければいけないという認識であってますか？

fis fee) V 0 f(x) f(x) ↓ | lif(x) = -00 x7-0 limf(x)=0 x+∞ になるとは限らない このような場合もある

これってどこが間違えているんですかね？ 教えてください🙇

定義に従って,次の関数を微分せよ。 (1) f(x)=-3x+4 f(x)= limf(x+h)-f(x) 11 h-10 h lim-3(x+h)+4-(-3x+4) んー lim-3h h-70 -3 ん

赤線部において、右側極限を出してくるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

59 微分可能性 関数 f(x) を次のように定める. log.x IC f(x)= (x≥1) x2+ax+b (x1) このとき、関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め よ. ただし, lim log (1+h) h→0 h -=1 は用いてよい。 精講 f(x) が z=a で微分可能とは,f(a)が存在することを意味し すから,ここでは f'(1) が存在することを示します. 定義によると lim f(1+h)-f(1) (1) h→0 -= f'(1) ですが,1+hと1の大 小,すなわち, h>0 とん<0 のときでf(1+h) の式が異なるので ん→0の2つの場合を考え, f(1+h)-f(1) f(1+h)-f(1) lim ん→+0 = : lim h h→-0 h 52 左側極限, 右側極限 が成りたてば f(1+h)− f(1) lim が存在する h→0 h ことになり,目標達成です. これだけでα, bの値は求 められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利 用してαともの式を1つ用意しておくと, ラクに a, b の値を求められます。 153 解答 まず, x=1 で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ. lim (x2+ax+b)=0 x→1-0 よって,1+a+b=0 ...... ① このとき, x-1 lim f(1+h)-f(1) = lim 1 log(1+h) ん→+0 h h→ +0 h 1+h {0– 110g1=0

ここでの逆の確認とは何を確認しているのですか？

重要 例題 131 導関数から関数決定 (2) 00000 | 微分可能な関数f(x) がf'(x)=lex-1 を満たし, f (1) = e であるとき,f(x)を 2 基本 求めよ。 0=(x)4 基本130 指針 条件f(x)=lex-1から,f(x) =flex-1|dx とすることは できない。まず、 場合に分ける から 絶対値 y=ex-1 p.22 2 x>0のときf'(x)=ex-1 A x<0 のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1 x>0のときは,Aと条件f(1)=e から f(x) が決まる。 しかし,x<0のときは, 条件f (1)=e が利用できない。 そこで,関数f(x)はx=0で微分可能x=0で連続 (p.106 基本事項 ②)に着目。 =1 + 0 limf(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 +0 X-0 f'(x)=ex-1 x>0のとき,e-1>0であるから 解答 よってf(x)=f(ex-1)dx=e-x+C (Cは積分定数) ...... ゆえに C=1 ① 240 = f (1) =e であるから e=e-1+C したがって f(x)=ex-x+1 x<0 のとき,ex-1<0 であるから 導関数f'(x) はその定義 から,xを含む開区間で 扱う。 したがって, x>0, x0 の区間で場合分け して考える。 以 よってf(x)=f(-exx f(x)=-x+1) =-ex+x+D (Dは積分定数) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに limf(x) = limf(x)=f(0) x+0 x-0 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 ①から x+0 x+0 ② から lim f(x)=lim(-ex+x+D) = -1 + D x-0 2=-1+D=f(0) f(x)=-ex+x+3 (1) AGR-C f(x)は微分可能な関数。 x-0 よって ゆえに D=3 したがって 必要条件。 ex- このとき, lim =1から 逆の確認。 121 も参照。 x→0 x f(h)-f(0) lim =lim ん→+0 h h→+0 e-h-1 h =0, ◄lim (1-1) f(h)-f(0) -e+h+1 lim = =lim =0 lim 0-14 h 0114 h =(-1)+1} よって、f'(0)が存在し,f(x)はx=0で微分可能である。の(1) 以上から e-x+1 f(x)= e+x+3(x<0) DET

赤線部2行目の右辺はf(1)なのか、それとも1＋0の極限なのかが分かりません🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

問 59 微分可能性 関数 f(x) を次のように定める. log x -=(x≥1) I f(x)= x2+ax+b (x1) このとき, 関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め log (1+h) h よ. ただし, lim 0-4 -=1は用いてよい. |精講 f(x) がx=αで微分可能とは,f' (a) が存在することを意味しま すから,ここではf'(1) が存在することを示します. 定義によると lim h→0 f(1+h)-f(1). h -=f'(1) ですが,1+hと1の大 小,すなわち, ん>0 とん<0 のときでf(1+h) の式が異なるので、 ん → +0. →0の2つの場合を考え, f(1+h)-f(1) f(1+h)-f(1) lim == : lim ん→+0 h h--0 h ( 52 左側極限, 右側極限 が成りたてば f(1+h)-f(1) lim が存在する h→0 h ことになり、目標達成です. これだけでα, bの値は求 められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利 用してαと6の式を1つ用意しておくと, ラクに a, b の値を求められます. |53| 解答 まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ .. lim (x2+ax+b)=0 →1-0 よって, 1+α+6=0 ...... ① x-1 このとき f(1+h)-f(1) lim ん→+0 h lim 1∫log (1+h) →+oh 1+h log1 -=0 1

赤線部のように変形できるのはなぜですか？🙏 お願いいたしますm(_ _)m

59 関数f(x) を次のように定める。 logx I f(x)= (x≥1) (金) 画 ne [x2+ax+b (x <1) このとき、関数 f(x) が x=1で微分可能であるように, a, b を定め よ. ただし, lim log (1+h) -= 1 は用いてよい。 h→0 h 精講 f(x) がx=αで微分可能とは、f'(α) が存在することを意味しま すから,ここでは f' (1) が存在することを示します. 定義によると lim f(1+h)-f(1) h→0 nial hate! -=f'(1) ですが, 1+hと1の大 lim (1h)-f(1)_ f(1+h)-f(1) 小,すなわち, ん>0 とん<0 のときでf(1+h) の式が異なるので,ん→+0, ん→0 の2つの場合を考え, lim 52 左側極限, h ん→-0 h ん→+0 右側極限 が成りたてば lim h→0 f(1+h)-f(1) h が存在する ことになり、目標達成です。 これだけで α, bの値は求 められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利 用してαとbの式を1つ用意しておくと, ラクに a, b の値を求められます。 153 解答 まず, x=1 で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ。 lim (x2+ax+b)=0 x-1 log1 -=0 x-1-0 よって,1+α+6=0 ...... ① このとき lim f(1+h)-f(1) = lim ん→+0 h h→+0 h 1+h 1 (1) 08 (1)

赤線部において、左側極限を使っているのはなぜですか？🙏 お願いいたしますm(_ _)m

礎問 59 微分可能性 関数f(x) を次のように定める。 log.x (x≥1) AC I- ania I f(x)= x2+ax+b (x <1) このとき、関数f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め よ. ただし, lim log (1+h) h-0 精講 h -=1 は用いてよい. f(x) がx=αで微分可能とは、f'(α) が存在することを意味しま すから,ここでは f'(1) が存在することを示します. 定義によると lim h→0 f(1h)-f(1) nial h -=f'(1) ですが,1+hと1の大 小,すなわち, ん>0 とん<0のときでf(1+h) の式が異なるので,ん→+0, ん→0 の2つの場合を考え、 f(1+h)-f(1) f(1+h)-f(1) lim = lim 52 左側極限, ん→+0 h 0114 h または白田 右側極限 が成りたてば lim f(1h)-f(1) h が存在する h→0 ことになり、目標達成です。 これだけでα, bの値は求 められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利 使用してαとの式を1つ用意しておくと, ラクに a, b の値を求められます。 53 解答 まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ. lim (x2+ax+b)=0 x→1-0 よって, 1+α+6=0 ...... ① x→1 このとき f(1+h)-f(1) lim = lim 1 log(1+h) ん→+0 h ん→+0 h 1+h h_o} 10g1=0 また。 ①

赤線部のように分かるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇‍♀️

53 関数の連続 関数 f(x) を次のように定める. x²+ax (x<1) x-1 f(x)= [x] (1≤x≤2) x2+bx+α (2≦x) ただし, [x] はxを超えない最大の整数を表す. このとき,f(x)がすべてのxで連続となるような a, b を求めよ。 「関数f(x) がx=αで連続である」とは 精講 limf(x)=f(a) xia が成りたつとして定義されますが, limf(x)は,rが右から1に近づくときと、 左から近づくときで f (x) の式が異なるので, 52 で学習したように 「左側極限と右側極限がf (1) に一致する」と考えます。 解答 x=1, x=2のとき連続だから, x=1, 2 のときを考える. i) x=1 における連続性 f(1) =1であり, limf(x)=lim[x]=1 だから, lim f(x) =1であればよい. x→1+0 x→1+0 lim f(x) = lim x-1-0 x+ax →1-0 x-1 x→1-0 (Sa -=1 となるためには, lim (x-1)=0 だ x-1-0 から lim (x2+ax)=0 x-1-0 であることが必要. .. 1+α= 0 よって, a=-1 このとき, lim f(x) = lim -x x-1-0 →1-0 x-1 となり、確かに適する. lim x=1 x→1-0 Amil (8) 49 吟味が必要 ので であればより CLE ボイン