Question

れもん

赤線部2行目の右辺はf(1)なのか、それとも1＋0の極限なのかが分かりません🙇🏻‍♀️
お願いいたします🙏

問
59 微分可能性
関数 f(x) を次のように定める.
log x
-=(x≥1)
I
f(x)=
x2+ax+b (x1)
このとき, 関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
log (1+h)
h
よ. ただし, lim
0-4
-=1は用いてよい.
|精講
f(x) がx=αで微分可能とは,f' (a) が存在することを意味しま
すから,ここではf'(1) が存在することを示します.
定義によると lim
h→0
f(1+h)-f(1).
h
-=f'(1) ですが,1+hと1の大
小,すなわち, ん>0 とん<0 のときでf(1+h) の式が異なるので、 ん → +0.
→0の2つの場合を考え,
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
lim
== : lim
ん→+0
h
h--0
h
(
52 左側極限,
右側極限
が成りたてば
f(1+h)-f(1)
lim
が存在する
h→0
h
ことになり、目標達成です. これだけでα, bの値は求
められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利
用してαと6の式を1つ用意しておくと, ラクに a, b
の値を求められます.
|53|
解答
まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ
..
lim (x2+ax+b)=0
→1-0
よって, 1+α+6=0 ...... ①
x-1
このとき
f(1+h)-f(1)
lim
ん→+0
h
lim 1∫log (1+h)
→+oh
1+h
log1
-=0
1

(1+h)²+a(1+h)+b◄ƒ(1)=0
=
= lim
h--0
h
oa
1
log(1+h) =1
h-+01+h
= lim
また,lim。
= lim
ん→-0
h
f(1+h)− f(1)¸
h
h²+(a+2)h+a+b+1
h
= lim (h+a+2)=a+2
h1-0
f' (1) が存在するので, a+2=1.....②
①,②より, a=-1,6=0
1+a+b=0

微分可能性

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

f(1)の方ですね

れもん

分かりました！ありがとうございます🙏
そうなると、赤線部の2行目の左辺で右側極限でなく、左側極限になっているのはなぜなのでしょう
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

きらうる

今回の問題は、x=1で微分可能かどうかを問うていますが、赤線ではまず、x=1で連続かどうかを調べています。
xの範囲はx≧1とx<1なので、x≧1(1の右側極限)はf(1)となるのは明らかです。
x<1では、x=1が範囲ではないので、極限を使ってx→1-0を求めているわけです。
いかがでしょうか

れもん

分かりました！！ありがとうございます🙏

Answer 2

フラッグ

赤線部2行目の極限の計算は、f(x)がx=1において連続であることを用いているので、右辺(計算の結果)はf(1)に等しいはずです。