題 B1.8 既約分数の和
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pは素数,m,nは正の整数でm<nとするとnの間にあって、か
を分母とする既約分数の総和を求めよ
(同志社大)
考え方 具体的な数で考えてみる.たとえば, 2と4の間 (2以上4以下)にあって, 5を分母と
する数は,
10(-2). 11. 12 13 14 15 (-3), 16 17 18 19 20 (=4)
5'
10
5
5'5'5'5'5
つまり、2.2+1/32+2/2
5' 2+1gとなり、初項2.公差 1/3の等差数列になって
いる. 項数は分子に着目して11 (=20-10+1) 個である.
第8章
これらの和を求めて、そのうち既約分数にならないもの(整数)を引くとよい。
解答
m以上n以下でp を分母とする数は,
0
mp P(=m), mp+1 mp+2
np-1 np P(=n)
まずはすべての分数の
和を求める.
つまり、初項m 公差 等差数列となる.
公差の等差数列
Þ
項数 np - mp +1,末項nであるから,その和 S, は,
S=1/2(np-mp+1)(m+m) ・①
5
また、このうち, 既約分数でない数は整数であるから,
m,m+1,m+2, .....,n-1n
つまり、初項m, 公差1の等差数列となる.
項数 n-m+1, 末項nであるから,その和 S2 は,
項数をkとすると,
n=m+(k-1)より。
Þ
k= (n-m)p+1 だから,
S₁ = {(nm)p+1}
x(m+n)
S2=1/2(n-m+1)(m+m)
2
よって、 求める和をSとすると,①,②より, ((株)(1)
<S=1/2 (np-mp+1)(m+m)-1/2(n-m+1)(m+n)
(m+n)(np-mp+1-n+m-1)
=1/2(m+n)(n-m)(p-1)
具体的な数で調べて規則性をみつける
素数を分母とする真分数の和は,
1 2
p
+
としてもよい。
分母が素数であるから,
既約分数でないものは
mからnまでの整数に
なる.
項数n-(m-1)
S から S2 を引けば,
既約分数の総和となる.
S=S-S2
p-1_1+2++(p-1)
+
+
p
p
Þ
=1/2(1-1)
M
とするとnの間にあって5を分母とするすべての
求め上
(富山大)
Focus
注
