練習 方程式 x+ax+b=0が2-iを解にもつとき,実数の定数a,bの値と他の解を求めよ。
② 66
〔近
2żが解であるから
(2-1)+a(2-i)²+b=0
(2-i)=4-4i+i=34i,
(2_i)={(2-i)=(3-4ź)=9-24i+16z=-7-24i
であるから
整理すると
(-7-24i)+α(3-4i)+b=0
(3a+b-7)-4(a+6)i=0
a,b は実数であるから, 3a+b-7 と a +6 も実数である。
ゆえに
3a+6-7=0, α+6=0
これを解いて
a=-6, 6=25
このとき, 方程式は x4-6x2+25=0
すると、
←(x+y^2=x2+2x
←A+Bi=0
⇔A=0,B=0
←x-6x2+25
=(x2+5)^(4x)2
実数係数の4次方程式が虚数解 x=2-iをもつから,それと共=(x+10x2+25)
役な複素数 x=2+iもこの方程式の解になる。 (*)
よって,x4-6x2+25は {x-(2-i)}{x-(2+i)} すなわち
x2-4x+5で割り切れる。
右の割り算から
x-6x2+25=(x2-4x+5)(x2+4x+5)
x2+4x+5=0を解くと
したがって,他の解は
別解 [(*) から始める]
x=-2±i
x=2+i, -2±i
x+ax²+bは{x-(2-i)}{x-(2+i)}
すなわち x-4x+5で割り切れる。
......
=(x²+4x+5)
x(x2-4x+5)
分解することもで
x2+4x+5
- 6x2
x2-4x+5x4
4-4x3+5x2
4x3-11x2
4x3-16x2+2
5.x2-
5x2
XI-
