306 第7章 数列
応用問題 4
応用問題1で計算した
(2k-1)-3=1-3+3.32²+5·3³+····· +(2n−1) • 3"
を次の手順で計算しよう.
(1) f(k)=(pk+g) •3 とおくとき
f(k+1)-f(k)=(2k-1)-3
となるような. 定数p gの値を1組求めよ.
(2) (k-1)3 を求めよ.
精講
応用問題1で扱った(等差) (等比)の形の数列の和です。前回
は, 「1つずらして引く」 という解き方をしましたが, 今回は,一
般項を 「ある数列の階差」 の形で表すというアプローチをしてみましょう.
f(k) の形は,一般項の形から推測しなければいけませんが,本問では,問題
に与えられているように,f(k)=(pk+g) •3k とおくとうまくいきます。
解答
3:3
(1) f(k)=(pk+g) 3 とおくと
f(k+1)-f(k)={p(k+1)+g}・3+-(pk+g) ・3k
=[3{p(k+1)+g}-(pk+g)] 3
=(2pk+3p+2g)・3k
これが (2k-1)3となればよいので-
Sticks (a) 2p=2, 3p+2q=-1
よってカ=1,g=-2
(2) (1)の結果より,f(k)=(k-2)3 とおくと
よって
f(k+1)-f(k)=(2k-1).3k
(2)-(1)
+7(3)-ƒ(2)
(2k-1).3=2f(k+1)-f(k)}+\(4)-f(3)
k=1
k=1
f(n+1)-f(1)
=(n-1) 3+1-(-3)
=(n-1)3"+1+3
+f(n+1)-f(x)
