重要例題56 独立な試行の確率の最大
さいころを続けて100 回投げるとき, 1の目がちょうどん回 (0<k<100)出る確
発点
であり,この確率が最大になるのはk= ]のときである。
率は 100 Ca×
に
た
6100
[慶応大)
大」
基本 49
計>) 求める確率を pa とする。1の目がk回出るということは, 他の目が100-k回出ると
いうことである。反復試行の確率の公式に当てはめればよい。
と bの大小を比較する。大小の比較をするときは, 差をとることが多い。しか
し、確率は負の値をとらないことと»C,=-
n!
を使うため,式の中に累乗や階乗
Da+1
が多く出てくることから, 比
D。
r(nーr)!
をとり,1との大小を比べる とよい。
De+1
をとり,1との大小を比べる
pe
CHART 確率の大小比較 比
解答
さいころを100回投げるとき,1の目がちょうどん回出る確率
1\k/51100-k
ア5100-k
をかとすると
D=100C
=100C×
6100
反復試行の確率。
k!(100-k)!
100!-5100-k
100!-599-
5100-R+1)
De+1.
Dた
ここで
Pa+D
=100 C&+D×
6100
100-k
De のkの代わりに
k+1とする。
三
599-k
また,
5100-
1
D+1<1とすると
De
100-k
<1
(R+1)!=(k+1)k! に注意。
両辺に正の数を掛けるから,
不等号の向きは変わらない。
100-k<5(k+1)
両辺に5(k+1)[>o] を掛けて
これを解くと
95
=15.8…
k>
よって,k216 のとき
kは0Sk<100 を満たす整
数である。
Da> De+1
>1とすると
100-k>5(k+1)
De
paの大きさを棒で表すと
95
Rく
-=15.8…
6
最大
これを解くと
増加
減少
pく pa+1
よって, 0SんS15のとき
したがって
Doくpく……くDisくp16,
D16> Dr>………>pro0
よって, が最大になるのはk=イ16のときである。
15 16 17
1100 k
99
012
