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107 面積 (IV)
mを実数とする.
放物線y=x2-4.x +4 ...... ①, 直線y=mx-m+2 ...... ②
について,次の問いに答えよ.
(1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ.
(2) ①,②は異なる2点で交わることを示せ .
(3) ①,②の交点のx座標をα, β(α <β) とするとき, ① ② で囲
まれた部分の面積Sをα, β で表せ.
(4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ.
|精講
(1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず｣ とくれば,
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます.
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します.
(3) 105 ですでに学んでいますが, 定積分の計算には100(2)を使います.
(4) 21 (解と係数の関係) を利用します.
=− fr² {x²−(m+4)x+m+2}dx
α, βは, x-m+4)x+m+2=0 の2解だから
S=-
=(xa)(x-B)dx=1/12 (3-0)3
B-
注 紙面の都合で途中の計算は省略してありますが, 100 (2)のようにき
ちんと書いてください.
(4)解と係数の関係より, a+β=m+4,aß=m+2
:. (B-α)=(a+β)2-4aβ= (m+4)2-4 (m+2)
.
S=
=m²+4m+8
= {(B− a)²)}} = 1 (m²+4m+8)¾
S=1/2(m+2)2+4}1/2 より m=-2のとき最小値をとる.
(*) は, よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません。
ax2+bx+c=0 (a>0) の2解をα, B(α <β) とすると,
-b-√D
2a
B=
-b+√D
2a
-b+√√D
-b-√D √D
. β-α=
2a
2a
a
解 答
(1) ②より m(x-1)-(y-2)=0
<mについて整理
これがmの値にかかわらず成立するとき,
x-1=0, y-2=0
本間は α=1のときですから, (B-α)²=(√D)=D となるのは当然.
このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも
可能で,必ずしも, α+β, aβ から求める必要はありません.
よって,mの値にかかわらず②が通る点は, (1,2)
(2) ①,②より,yを消去して
判別式をDとすると,
D=(m+4)2-4(+2)
ポイント
x2-4x+4=mx-m+2
.
2-(m+4)x+m+2=0
S(エー
r− a)(x− ß) dx = — — — (B− a)³
<D>0 を示せばよい
=m²+4m+8
=(m+2)2+4>0
よって, ①と②は異なる2点で交わる.
(3) 右図の色の部分がSを表すので
5=fr^{( (mx—m+2)−(x²-4x+4)}dx
S=
(2)
演習問題 107
0 a 1
2 Bx
y=4-x2 ...... ①, y=a-x (aは実数) •••••• ② について,次の
ものを求めよ.
(1) ① ② のグラフが異なる2点で交わるようなαの値の範囲
(2) ①,②のグラフで囲まれた部分の面積が1/3となるようなαの値
3
