10 極値をもつ条件 -
aを実数とする.関数f(z)= ax+cos.z+
-sin2.rが極値をもたないように, aの値の範囲を定
2
めよ。
(神戸大·理系)
微分可能な関数が極値をもつとき
の解の前後でf'(x)が符号変化しなければ極値をもたない.
極値をもたない条件は,f'(x)が符号変化をおこさない(つねに0以上, またはつねに0以下)こと
である。
文字定数を分離してとらえる場合
符号は,曲線y==g(z)と直線y=aの上下関係で判断することができる。y=g(x)がy=aの下側にあ
ればf(z)>0, 上側にあればf'(z)<0である。このように, 文字定数aが分離できれば, 定曲線
y=g(x)と, x軸に平行な直線y=aとの上下関係を調べればよいので, とらえやすい。
f'(x)30であることのみに注目してはいけない. f'(z)=0
f'(x)の符号がa-g(z)の符号と同じになるとき, f'(z)の
「解答量
1
-sin2.r
2
f(z)=ar+cos.z+
. f'(z)=aーsin.r+cos2.r=a-(sinz-cos 2.r)
f(x)が極値をもたない条件は,
f'(z)がつねに0以上か, f'(z)がつねに0以下であること 0 合f(z)が符号変化しない, が条件。
なお,「つねに正か, つねに負」は
間違い!!なので,要注意
である。
g(z)=sin.z-cos 2.r とおくと,
なんで??
9
g(x)=sin.r-(1-2sin?z)=2{( sin.z+
8
この範囲にy=g(x)がある。
-1Ssin.r<1であり, sin.z=1のときg(x)は最大となり,
g(x)=1-(1-2)=2 であるからg(z)の取り得る値の範囲は,
49
a
リ=a
2
9
号()6=-
0
f(x)=a-g(xr)であるから, ①となるaの範囲は,
9
または 2<a
8
aS-
010 演習題(解答は p.59)
f'(x)の符号変化の回
数を調べる。aを分離す
るが、完全に分離しない
方がよい。
の極大値と極小値のそれぞれの個数をa
22-1
I-a
aを正の定数とするとき, 関数f(x)=
の値によって場合分けして答えよ。
(滋賀県立大)
A5
9|8
