これって公式ですか どう考えればいいのでしょうか、

にお 本 201 木 例題 203 不定積分の計算 (2) y0.n を自然数とする。 公式S(ax+b)dx=1 (ax+b)+1 a n+1 +C 00000 (Cは積分定数)を用いて,不定積分(x-1)(x+1)dx を求めよ。 CHART SOLUTION & (ax + b)" の不定積分 " ax+b) b)"dx=1. a n+1 を自然数とするとき, 次の公式が成り立つ (in 参照)。 +C (Cは積分定数) (ax+b)+1 基本 201 く。 319 (xa)(x-β)=(x-2)^{(x-a)+α-B}=(x-a)+1+(α-B)(x-α)" を利用して (x-1)(x+1)=(x-1)^{(x-1)+2}=(x-1)+2(x-1)^ と変形すると, (ax + b)” の不定積分の公式が使える。 2 fx-1)(x+1)dx=f(x-1)*((x-1)+2)dx =f{(x-1)+2(x-1)*}dx ( =f(x-1)*dx+2f(x-1)dx =(x-1)*+2.(x-1)) 4 +C 113 (x-1){3(x-1)+2.4)+C inf. (x-1)(x+1) =x-x-x+1 と展開して積分すると +x+C 4 3 2 左の答えの式を展開すると xx3x² 闘 4 3 2 +x- -+C 5 12 答えが異なるように見える が、Cは「任意の」定数な 71 ので、どちらも正解。 = (x-1)(x+5)+C (Cは積分定数) 21 12 INFORMATION 微分法の公式{ (ax +6)"}=n(ax+b)-1α (p.278 参照) において, nを n+1 におき換えると よって,a0 のとき (ax+b)n+1) n+1 したがって {(ax+b)"+1}'=(n+1)(ax+b)" a f(ax+b)dx=1, (ax + b).. =(ax+b)" +C ← を忘れずに! a n+1 a 特に,α=1のとき S(x+b)"dx = (x+6)=+ -+C (ともにCは積分定数) n+1 (A) PRACTICE 2036 上の例題の公式を用いて、 次の不定積分を求めよ。 (0) (2x+1)^dx (2) (t+1)(1-t) dt01 (1)

数3の定積分のところなんですけど 理解できないです 教えてください

p.151 2 (2) Sisin (f/3t+coat 3 πt+ dt 6 2008(八大+ 3 COS 豆) ・2{(+)-(1/+ 3 2-1

これってなんでこのようになるのでしょうか？ 教えてください

αの方程式が得られる。 (2)まず、与えられた等式をff(d=-x+3xと変形して, 両辺をxで微分 CHART 定積分の扱い SSを含むならで微分 解答 =(x+2)(x f(x) =0 とすると (x+2)(x- よって x=2 (1)S*f(t)at=x-3.x-4 ① とする。 ゆえに、f(x)の のようになる。 解答 ①の両辺をxで微分すると dx Ja dSs (t)dt=2x-3 ここで f(x)= すなわち f(x)=2x-3 d また、①でx=α とおくと, 左辺は0になるから - 0=a²-3a-4 よって (a+1) (a-4)=0 <SF(t)dt=0 したがって f(x)=2x-3;q=-1,4 ゆえに a=-1,4 ゆえに f(-2 (2) f(t)dt=x³-3x 5 f(1)= すなわち f(x)=-3x2+3 0=-a+3a ゆえに a(a-3)=0 よって a=0, ±√3 したがって f(x)=-3x²+3a=0.±√3 Sf(t)dt=-x+3x ②の両辺をxで微分するとSoftdt==3x²+3 また②でx=q とおくと, 左辺は0になるから SS(edt=Sfloa ...... ② 上端と下端を交換しない で f(t)dt=-f(x) よって, x=-2 別解 この問題 して極値を求 としてもよい。 f(-2)= S(1)=S よって、x= る。 2242 次の等式を満たす関数 f(x) および定数の値を求めよ。 (1)(t)dt=2x²-9x+4 (2)S's(rdt

この問題の点Pの座標のxって①のグラフの-√2x^+x のxと対応とかはしてませんよね。

要 例題 172 直線の周りの回転体の体積 曲線 y=-√ -√√2x²+x. ① と直線 y=-x 00000 ②とで囲まれる部分を, 直線②の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。 〔類 大阪電通大] 基本 165,166 CHART & THINKING 回転体の体積 断面積をつかむ ②を基準にしない 一般に回転させる軸に垂直な断面積を考えないと 円にならない といけない 回転軸は直線②であるから,今までのように座標軸に対して垂 直な平面で立体を切った断面ではだめ。 どのような平面で立体 を切ると断面積の計算がしやすいだろうか? YA /2 X →直線② 新しく軸として, t軸に垂直な平面で切断したと きの断面積を考えるとよい。 wa 解答を通 曲線 ①と直線②の交点のx座標は, -√2x2+x=-x の解であるから, x=0,√2 これを解いて ①上に点P(x, -√2x2+x) (0≦x≦√√2) をとり, Pから直線 ② に垂線PH を引く。 PH=h, OH=t とする。 このときん= YA P(x, -√2x2+x) ② √2 _|x+(-√2x2+x)|=|-x2+√2x1 V12+12 また,OPHは直角三角形であるから, OH2=OP2-PH2 12={x2+(-√2x2+x)2}(x-2√2x3+2x2) NA x inf. 体積を求める手順 図より Shedt が体積であ るから, 直線②上の積分 区間 [α, b] を求め、 次にん, dt を x で表すことを考え る。 6章 19 点(x1,y) と直線 ax+by+c=0 との距離 積 dは =x4 JA+B の座標をつくったと考える。 d= _ax+by+cl √a²+b² t≧0 であるから t=x2 新しく んはと E t 0 → 2 放物線品とのキョリ よって dt=2xdx iP を求めると tとxの対応は右のようになるから V=π Sh²dt =π S² (= x² + √2x)²+2x dx =2zS(x-2√/2x'+2x)dx XC 20√2 26 = 2π [ x ² _ _ 2√2 x ³ + =2 5 ++2)13 4 16 π 5 15 Pを文字で 標を表して A(√2-√2) とするとか OA=2 から, t軸の積動いても 分区間は [0, 2], 断面積成り立 関係 は hである。 このについての積分とをで を置換積分の要領でx表す。 の積分に直して計算す る。

解説にある②から④になる意味が分かりません。教えて欲しいです！

d *463 f(x)+\g(t)dt=3x2+2x+1, f(x)=g(x)+4x2 を満たす関数f(x), dx 0 g(x) を求めよ。

黄色斜線部分の面積の求め方がわからないです🙇 解説お願いします

+ 2 3 y≥ 1/13 2 2 y ≤ −x² + 9-4 ● x2 + (v-1)^≥1 4 × × ログイン または サインアップしてあな たの美しい数学を保存し てください! 提供: desmos × 4- -3- -1- + -4 -3 -2 -1 0 2 3 -1- -2

(2)なのですが、解答の3行目から4行目までの変形がわかりません。どういうふうにやっているのかおしえてほしいです。

0000 08 基本事項 3 (1)S(x+5)e*dx 例題 133 定積分の部分積分法 (2) (2回利用、同形出現) ①①①①① 重要 次の定積分を求めよ。 21 0000 [東京電機大] (2) Se*sinxdxハーズ 〔福島大] 基本113 重要 121 基本 132 OLUTION CHART & SOLUTION exhi 部分積分の2回利用 次数下げ または 同形出現 =sin2x Cos 2x =1 (1) 2次式は2回微分すると定数になるから, (ex)'=e* として2回部分積分。 (2) 2回部分積分すると同形が出現する。 e*sinx=(e*)'sinx と考えて部分積分。 別解では,e*sinx=ex(-cosx)' と考えて部分積分しているが,どちらの解法でもよい。 解答 10(x+5)e'dx=(x²+5e"dx == BENTO (nie) =[(x²+5)e*]”—S”2xe*dx=14e³-9e²−2S*x(e*)'dx =14e³-9e²−2{[xe*] - Se*dx} フキ文 13 - 2 2 29 \ -i =14eª—9e²−2(3e³−2e²)+2[e*] 5=10e3-7e2 (2) I= Se*sinxdx とすると Sexy'sinxdx 1="e"sinxdx=S(e" 'sinxdx 10 ib--xb であ 2 -(-1) xb (mi 21b (-)-((1-x)aie)\( =e*sinx-Se*cosxdx=0-f(e*)cosxdx e*sinxdx=e"+1-I =excosx-Sensi Jo inf 定積分の部分積分は, 不定積分を求めてから上端 下端の値を代入してもよ いが、解答のように順次値 を代入して式を簡単にして 計算してもよい。 部分積分法 ■同形出現 =x e+1 よって I=- 2 b ( 1

この問題で、往復する区間とその前までの区間で分けて面積を引くという方針で解答はやっているのですが、そうするとX1つに対しYの値が2つ出る部分があって、その区間ではYの値が1つに定まらないから面積は求められなくないですか？

252 重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 200000 媒介変数 t によって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 YA 76130 基本 16 CHART & SOLUTION 基本例題 156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが, この問題ではの変化が単調でないところがある。 y 12 右の図のように, t=0 のときの点をA, x座標が最大とな S る点を B (t=t で x 座標が最大値 x=x になるとする),C t=πのときの点をCとする。 A B -3 0 1 A I この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり, x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。 したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を とすると, 求め る面積Sは t=0 0-to 曲線が往復 している区間 S=Sdx-vidx と表される。 よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。 また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。 x203- y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost 図から,0≦t≦では常に y≥0 また =2sint(1-cost) よって, y=0 とすると sint=0 または cost=1 0≤t≤ 5 t=0, π 次に, x=2cost-cos 2t から dx =-2sint+2sin2t dt loga nia) inf strのとき sint≧0, cost ≦1 から y=2sint(1-cost)≧0 としても,y≧0 がわかる。 =-2sint+2(2sint cost) L 30 =2sint(2cost-1) 0<t<πにおいて dx = 0 とすると, sint>0で dt あるから t 0 cost=- ゆえに t=" dx + よって、xの値の増減は右の表のようになる。 x 3 1

四角で囲ってあるところはどうしてこのような形にしたんですか？

n 1 an= k=12k-1 (n=1, 2, ………) とする。 (1) 不等式 2n+11dx<24ヵが成り立つことを示せ。 an (2) 極限 lim n→∞ logn を求めよ。

青色の波線が引いてあるところの途中の計算を教えて欲しいです。お願いします！

以下の間に答えよ。 3 (1)実数r, αは0<r≦1,0≦a <r をみたすとする。 xy 平面内で,点 (1,0)を中心にもつ半径1の円周およびその内部 をCとする。 Cを原点 (0,0) を中心に反時計まわりに角度だけ回転させるとき, Cが通過する領域の面積を求めよ。 (2)実数R, a は OR≦1,0≦α <a をみたすとする。 xyz 空間内で, 点 (1,0,0) を中心にもつ半径R の球面およびそ の内部をBとする。 B を z軸のまわりに角度αだけ回転させるとき, B が通過する領域の体積を求めよ。 ただし,回転の向 きは回転後のB の中心が (cosα, sin, 0) になるように選ぶものとする。