Question

さいこ

青色の波線が引いてあるところの途中の計算を教えて欲しいです。お願いします！

以下の間に答えよ。
3
(1)実数r, αは0<r≦1,0≦a <r をみたすとする。 xy 平面内で,点 (1,0)を中心にもつ半径1の円周およびその内部
をCとする。 Cを原点 (0,0) を中心に反時計まわりに角度だけ回転させるとき, Cが通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数R, a は OR≦1,0≦α <a をみたすとする。 xyz 空間内で, 点 (1,0,0) を中心にもつ半径R の球面およびそ
の内部をBとする。 B を z軸のまわりに角度αだけ回転させるとき, B が通過する領域の体積を求めよ。 ただし,回転の向
きは回転後のB の中心が (cosα, sin, 0) になるように選ぶものとする。

0
Z
OQCT
4
ltr
C
(1)(1+r)
+12π
at
360
2
xx
360
Ex+er+1-41-28
oran
+
zar+rz
360 90
#
R²-t²
t
I t
R
(R²- e²) + ra [R²- t } dr
R
R
2
S(R-t³) de
2RI
t²
1
+40
R
t
+427
di
Nどういう計算?

625年度
前期日程
数学
り考えてみよう。
(1)01,0≦x<πであり、
解答
C上の点で原点Oからの距離
が最大、最小となる点はそれぞれ
M'
M(1+r, 0), N(1-r, 0)
である。 Cを原点Oを中心に反時計まわ
りに角度αだけ回転させるとき,M,N
が移る点を M',N' とすると,Cが通過す
N
aN
M
1-r
1trx
る領域は,直径 MN より時計まわり側の半円,直径 M'N' より反時計ま
わり側の半円, さらに扇形OMM' から扇形 ONN' の部分を除いた領域を
合わせたもので,その面積をS(r) として
(6+)
から
S(r) = 1 ½πr² 2+1 / (1+r)²α- 1½ (1-r)²a (6-0) (6+0)
2.2+
(S) (ES 1)=(0-0+0)
√R²²
BO
R
242+2ra
(2)0R≦1,0≦x<πであり,球B
の平面z=t(-R<t<R)による切り口
は、半径R2-1の円となる。
ZA
平面 z=t
tati
Bを2軸のまわりに角度 α だけ回転
させるときこの切り口の円が通過する
領域の面積は,(1)の結果においてを
R2に変えたもの、すなわち
(
√R²-122+2√R²-t² a
であり,これは,Bが通過する領域の平面 z=tによる切り口の面積であ
る。 求める体積はこの断面積をR≦t≦Rの範囲で積分したものであり、
(t=±Rのときは, 切り口が点となるが,これも含めて)この体積をV
とすると
R
V= {(R²-t²)+2√R²—t² a}dt
-R

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

∫[0→R]‪√‬(R^2-t^2)dt
y=‪√‬(R^2-t^2)
⇔y^2=R^2-t^2∧y≧0
⇔t^2+y^2=R^2∧y≧0
よってty平面で原点中心半径Rの円の上半分で0→Rまでの面積を表す。
すなわち円の面積の1/4
∴π・R^2・1/4