事項
-3)
すると
x
を解く問
早くこ
√3+1)
基本例題 12 ベクトルのなす角
403
(1) pを正の数とし, ベクトルa=(1,1)=(1, - があるとする。いま、
ことのなす角が60°のとき, かの値を求めよ。
a=(-1, 3),i=(m,n) (mとn は正の数), ||=√5のとき, a とものな
[立教大]
((2)
す角は45° である。 このとき, m, n の値を求めよ。
[P.400 基本事項 ④
指針 内積について,
a = |a||5|cose, ad=abitab
の2通りで表し, これらを等しいとおいた方程式を利用する。
(1) は, (2) ではm, nの値がいずれも正の数であることに注意。
解答
d=1・1+1・(−p)=1-p
(1)
成分による表現。
lal=√1²+1²=√2, |6|=√1²+(-p)² =√1+p²
at = |a||5|cos 60°から
1-p=√2√1+p² x. 1/2
① の両辺を2乗して整理すると
p2-4p+1=0
よって
p=2±√3
ここで,①より, 1-p>0であるから
0<p<1
√1+p >0であるから、
ゆえに p=2-√3
①の右辺は正。よって, ①
(2)|6|=√5から
|=5
の左辺は 1-p>0
注意
が出てきたとき
よって m²+n²=5
|a|=√(-1)'+32=√10 であるから
は、かくれた条件≧0,
≧0 に注意｡
d・6=|||6|cos45°=√/10・15・1/12=5
また, a b=-1・m+3.n=-m+3n であるから
成分による表現。
I
-m+3n=5
ゆえに m=3n-5
(2)
②①に代入して (3n-5)²+n²=5
よって
n²-3n+2=0
ゆえに
(n−1)(n-2)=0
これを解いて
n=1, 2(n>0を満たす)
②から
n=1のとき m=-2,
n=2のとき m=1
mも正の数であるから,求める m, n の値は
m=1, n=2
練習 (1)=(-3, -4) と g = (a, -1) のなす角が45°のとき,定数aの値を求めよ。
12 (2)=(1,-√3)とのなす角が120%, 大きさが2√10 であるベクトルを求め
なす
求め
1章
3
ベクトルの内積
