なぜ赤線のようになるのですか？

7文字a, a, a, a, b, b, c のすべてを1列に並べる順列を考えてみよう。 同じものを含む順列 これら7文字すべてを1列に並べる 4 5 6 7 12、3 並べ方の総数は,右の図のように, 7 個の場所から4個を選んでaを入れ, b b a a a a 残りの3個から2個を選んでbを入れ, 最後の1個にcを入れる場合の数に等しい。 よって,求める並べ方の総数は, 積の法則により次のようになる。 8 3.2 ×1= 105 (通り) 2.1 7.6.5.4 C4×3C2×」C」 ニ 4.3.2.1 上で求めた並べ方の総数を階乗の記号で表すと, 次のようになる。 7! 3! 7! C4×;C。×1C 7 4!3! 一般に,aがか個, bがq個, cがr個,…の合計n個のものをす。 て並べる並べ方の総数は, 21 ページの公式を用いて n! »Cp×ォーpC,×カーカーC,×… = ただし,p+q+r+ = plg!r!… =1 となる。すなわち, 次のようになる。 O

この式がなぜ成り立つのか教えてください🙇🏻‍♀️

nP, = nC, × r!

(1)についての質問です。 解説を見ると、 3!2!分の7!とありますが、これはどのような意味でしょうか？

68 *(1) a, b, b, b, c, c, dの7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。 (2) KUMAMOTO の8文字を1列に並べる方法は何通りあるか。

(3)の青丸のところ解説お願いします

EX 次の等式を証明せよ。 の7(1) kmC=nn-1Ck-1 (ただし n22, 1<k<n) 企 (2) »C+2*»C2+3*,Cs+………+n,Cn=n-2"-1 (ただし ((n21) のラ(3) 2-1.,Ca+3·2*,Cs+…+n(n-1),Cn=n(n-1)2"-2 (ただし n22) n! A) =n (1) k,C=k ニnカー1Ck-1 yhl) (2) 二項定理により (1+x)"=カー1C。+n-1C1*+n-1C2x?+…+n-1Cカー1X"ー1 x=1 を代入すると 2"-1=ュ-」Co+n-1Ci+m-1C2+………+ョ-」Cn-1 よって,(1)を用いて (1+x)"ではなく Ci+2,C2+3»Ca+………+n»Cn =n(n-」Co+n-1Ci+m-1C2+………+n-1Cn-i)=n·2"-! (3) 二項定理により (1+x)"-2=n-2Co+n-2C」x+n-2C2x?+ +カ-2Ch-2x"-2 x=1 を代入すると 2"-2=nー2Co+n-2Ci+n-2C2+………+n-2Cn-2 (1)を繰り返し用いて 日(1+x)”ではなく (1)から TR-1)nー1Ck-1 (n-1)n-2C&-2 k(k-1),Ch=n(k-1)n-1Ck-1=n(n-1)n-2Ck-2 2-1·,C2+3-2,C3+………+n(n-1),Cn =n(n-1)(n-2Co+n-2Ci+…………+ォー2Cnー2) =n(n-1)2"-2 よって

【確認】6個の文字AABBCCを一列に並べる順列の総数は6！通りですか？

(2)が分かりません。どうして3の階乗で割るのでしょうか。区別を無くす云々もいまいち分かっていません。 解説お願いします🙏

D 組分けの総数 6人を次のように分けるとき, 分け方は何通りあるか。 応用 (1) A, B, Cの3つの部屋に, 2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの3つの組に分ける。 え方ト(2)は、, (1)で A, B, Cの区別 がない場合である。たとえば, fa, b} {c, d} {e, f} 1つの組分け(a, b}, {c, d}, {e, f} において, この3つの A B C A C B 組に A, B, Cの名前をつけ 3! B A C るとすると,3!通りのつけ方 10 B C A がある。よって, (2)の総数を C A B 求めるには,(1)の総数を3! C B A で割ればよい。 解答 (1) 部屋Aの2人の選び方は。C2 通りある。 部屋Bの2人の選び方は残りの4人から選ぶので.C2 通り, 15 部屋 A, Bの人が決まれば, 残りの部屋Cの2人は決まる。 よって,分け方の総数は, 積の法則により 6·5、4-3 = 90 2-1^2-1 答 90 通り 6C2×,C2= (2)(1)で,同じ人数の組の A, B, Cの区別をなくすと, 3! 通り ずつ同じ組分けができる。よって, 分け方の総数は 答 15通り 20 90 90 = 15 3! 6 通り

(1)のやり方を教えてください

2) 次の極限値を求めよ (ただし a,6>0 で [·]はガウス記号) a" lim n→o n! ar - b7 lim n→○ ar -+ bn' [VE] lim Ve] C→○

1番下から2行を詳しく説明してほしいです！ (なぜ0！＝1になるのか、r＝nのときもなりたつのはなぜか、nP0＝1になるのはなぜか、nP0＝1になるとe＝0になるのはなぜか)

第10講 要点2階乗 したるn 個のものをすべて並べる順列は、 P,=n(n-1) (n-2) 3·2·1 1E (m) と表される。これをnの「階乗」といい, 記号 yn !で表す。 階乗n!文さもり 脂全キ文 間さの U () n! =n(n-1)(n-2) 3·2.1 n! ※,P,は, 階乗を使って と表される。 0! =1 と定めると, この等式は r=n のときも成り立つ。 bour biCKnb また, r=0 のときも成り立つように Po=1 と定める。ふなのさのnL

3.2.1 とはどのような意味なのでしょうか？

診数 Prの式で, とくに r=nv とさは, 寺式 Pn=n(n-1)(n-2)… 3·2-1 に計算できる る。 1O 式の右辺は, 1からnまでのすべての自然数の積 nの「階乗 といい, n! で表す。 mP,=n!=n(n-1)(n-2).…←-3-2-1

紫のところがわからないです。 どう変形しているか途中式を書いて欲しいです！ お願いします🙇‍♂️

362 基本 例題40 確率の条件から未知数の決定 O00 15本のくじの中に何本かの当たりくじが入っている。この中から同時に1。 重要 であるという。当たりくい 12 35 3.4. くとき,1本が当たり, 1本がはずれる確率が る。 本あるか。 確率 指針> 当たりくじの本数をnとして,まず, 確率を計算する。 a ① 確率の基本 Nとaを求めて N 指針 N:15本から同時に2本引く 15C2 a:当たりくじn本, はずれくじ 15ーn本から1本ずつ引く C;*15-C」 15C2 C-C。 12 これを= 35 とおいて解く。 よって, 題意の確率は 文章題では, 解の検討 がたいせつ。 nのとりうる値の範囲に注意する。 |解答 当たりくじの本数をnとすると, n は整数で 4まず、文字の範囲を で ておく。0SnS15でも 2 いが、n=0(すべてはす。 くじ)、n=15(すべて の 1SnS14 はずれくじの本数は 15-n本である。 15本から2本を取り出す方法は 当たり1本,はずれ1本を取り出す方法は 15C2 通り りくじ)の場合, たり、1本がはずれと ことは起こらないから。 1SnS14としている。 C」*15-C」 通り したがって,条件から n(15-n) 12 C*15-nC1 _12 35 15-14 415C2= -=15-7 すなわち 15·7 35 15C2 2-1 n?-15n+36=0 (n-3)(n-12)=0 分母を払って整理すると 左辺を因数分解して これを解いて DOを満たすnの値は よって,当たりくじの本数は n=3, 12 解の検討。n=3, 1264 もに0を満たす。 n=3, 12 3本または 12本 検討)くじを引く順序を考える 当たりくじn本を a, a2, …, an ; はずれくじ 15ーn本をb, b2, (1本目, 2本目)=(当たり, はずれ), (はずれ, 当たり)のように引く順序を考えると,題 2×,P*15-P1_n(15-n) bi5- として、 率は, 15P2 となり,解答の(*)の左辺と一致する。 15·7 この方針でもよいが,上のように組合せで考えると, 当たり,はずれの順序を考える必要 分だけ計算しやすい。 袋の中に赤玉,白玉が合わせて8個入っている。この袋から玉を2個 40 練習 3 3 出すとき,赤玉と白玉が1個ずつ出る確率が であるという。赤玉は 7 か。 (2