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基本例題 193 導関数と微分係数
(1) 関数f(x)=2x+3x2-8x について, x=-2における微分係数を求めよ。
(2) 2次関数f(x) が次の条件を満たすとき, f(x) を求めよ。
A
(1)=-3. f' (1)=-1, f'(0)=3
(3) 2次関数f(x)=x2+ax+bが2f(x)=(x+1)f'(x)+6を満たすとき,定数の
b の値を求めよ。
基本191)
Webs
指針▷ (1) x=q における微分係数 f'(a) は,導関数 f'(x) を求めて, それに x = a を代入する。
簡単に求められる。
f(x)は2次関数であるから, f(x)=ax²+bx+cとする。アーム
②2 導関数 f'(x) を求め, 条件をa, b, c で表す。(笑)
③3 a,b,c の連立方程式を解く。
(3) 導関数 f'(x) を求め,条件の等式に代入する。一(d+xp(s+xmi=
→xについての恒等式であることから, α, 6の値が求められる。
(2)
解答
(1) f'(x)=2.3x2+3・2x-8・1=6x²+6x-8
したがって
f'(-2)=6・(-2)^+6・(-2)-8
=4 J3 (0+20)
(2) f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると
(1)
f'(x)=2ax+b()
a+b+c=-3
2a+b=-1
f(1)=-3 から
f' (1)=-1から
f'(0)=3 から
これを解いて
したがって
(3) f(x)=x2+ax+bから
与えられた等式に代入すると
b=3
a=-2,6=3, c=-4
f(x)=-2x2+33-4
f'(x)=2x+α
1-2x3.
= (d+xb) = (
2(x2+ax+b)=(x+1)(2x+α)+6
整理して 2x2+2ax+26=2x2+(a+2)x+a+6
これがxについての恒等式であるから、両辺の係数を比較
すると
2a=a+2,
2b=a+6
これを解いて
a=2, b=4
^²(6+x)) =
(+2)
-3r²-12r+5@r=1 / tu
TUALET
微分係数 f'(a) の求め方
[1] 定義 (p.296 [①])に従って
求める
[2] 導関数 f'(x) を求めて、
x=a を代入する。
の2通りがある。 例題 1931)
では [2] の方法の方が早い。
なお、定義に従うなら
f(-2+h)-f(-2)
h
f'(-2)=lim
または
f'(-2)=lim
として計算。
ho
x-2
f(x) f(-2)
x-(-2)
係数比較法。
1
