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2021年度 〔4〕
α=2, b=1および
リー
an+1=2a+36, b +1=α+2b (n=1, 2, 3, ...)
で定められた数列{an}, {bn}がある。 C = a b とおく。
(1) c2 を求めよ。
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(2) cm は偶数であることを示せ。
(3) nが偶数のとき, cm は28で割り切れることを示せ。
ポイント 連立の漸化式で定められる2つの数列の一般項の積についての数学的帰納法
による証明の問題。
(1) 漸化式でn=1 とおいて求める。
(2) 数学的帰納法により証明する。
(3)n=2mとおいて, m について数学的帰納法で証明する。
解法
(1) a2=2a+3b1=4+3=7
b2=α +261=2+2=4
より C2=azbz=7×4=28
(2) a1=2,b=1,4+1=2a+3bb1=an+2b (n=1, 2, 3, ... より帰納的に
a b が整数であると言えるので, cm=amb" も整数である。
cm が偶数であることを数学的帰納法により証明する。
(I)n=1のとき,c=a,b=2×1=2より C1 は偶数である。
(II)n=kのとき cが偶数であると仮定すると, a b は偶数であるから=211は
整数) とおける。
n=k+1のとき
(
Level A
TRAIGHT
Ck+1=ax+1bk+1=(2a+3b) (+26)
=2a²+7ab+6b²=2a²+14Z+6b2²
=2(a²+71+3b²2 )
ここで, a2+71 + 3b²2 は整数であるから Ck+1 も偶数である。
(I), (II)より すべての自然数nに対してcm は偶数である。
(証明紋)
(3) n=2m(mは自然数とおき, C2mm が28で割り切れることを数学的帰納法によ
り証明する。
(I) m=1のとき, c2 = 28 より 28で割り切れる。
(II) m=kのときc2が28で割り切れると仮定すると, 28 (1は整数)とおけ
る。
m=k+1のとき
C24+2=a2+2b24+2 = (2a2+1+3b2+1) (a2+1+2b2+1)
= {2 (2a2+362) +3 (a₂+2b₂)}{2a+3b₂+2 (a₂+2b2x)}
= (7a2 + 12b2) (4a24+7b₂24)
= 28a2²+97a2b2+84b2²
= 28a2²+97-28/+84b2x²
= 28 (a24² +971 +3b₂²)
D
ここで, a² +971 +3bz² は整数であるから 22は28で割り切れる。
(I), (II)より. すべての自然数mに対して C2me は28で割り切れる。
ゆえに,nが偶数のとき, cm は28で割り切れる。
(証明終)
