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重要例題
164 三角形の面積の最小値
2
面積が1である △ABCの辺 AB, BC, CA 上にそれぞれ点D,E,F を
AD:DB=BE:EC=CF:FA=t:(1-t) (ただし,<t<1) となるように
る。
(1) ADF の面積をt を用いて表せ。
(2) △DEF の面積をSとするとき,Sの最小値とそのときの値を求めよ。
基本 158
指針 (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABC の面積が1であることと
△ABCとAADF は ∠A を共有していることに注目。
13,000
2
F=1/2AD
-ABACsinA(=1),
AADF AD AF sin A
(2)△DEF=△ABC- (△ADF+△BED+ △CFE) として求める。
Stの2次式となるから, 基本形 α(t-p)+αに直す。
ただし, tの変域に要注意!
.........
matte ABCを求めてい
SABL = 12 ABC= AL
うの
解答
であるから
(1) AD = tAB, AF = (1-2) AC
AADF= -12AD AF sin A
Eff
1-t
=1/12t(1-t)ABACsin A
D
A
一般に
検討 西仁かと
Per
/F
△AB'C' AB' AC
AABC
AB-AC
A
BtE
C
C'
B'
△ABC=ABACsinA=P
よって
AADF=t(1-t) AB AC sin A
21
=t(1-t)
(2)(1) と同様にして △BED=△CFE=t(1-t)
よって
S=AABC-(4ADF+ABED+ACFE)
=1-3t(1-t)=3t2-3t+1=3t-
B
(*) 3t2-3t+1=3(t-t)+1
31-1+(1/2)7-3(1/2)+
S* S=3f-3t+1
1
ゆえに, 0<t<1の範囲において, Sは
t=1/2のとき最小値 1/14 をとる。
1
4
最小
(D,E,F がそれぞれ辺AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
0
1
練習
なんでこれか
1辺の長さが1の正三角形ABCの辺 AB, BC, CA 上にそれぞれ頂点と異なる
③ 164 D,E,F をとり,AD=x, BE=2x,CF=3x とする。
