以上から
T. 1og xdx<log k <)。
k-1
(2) n"e-"<n!<(n+1)*+le-".. ① とおく。
[1] n=1のとき
4
1'xe-l=-, 1!=1, 2'e-!=-
e
e
<1くであるから, ①は成り立つ。
[2] 22のとき, (1) で示した不等式で, k=2, 3, , n として
加えるSgrdr+ , ogrdat J. ogrdx
3
加える1og xdx+ 1og xdx+
2
<log2+ log3 + +log n
4
n+1
<log xdx+
-| log xdx+
+ logxdx
2
3
n
n+1
よって| 1og xdx<log(2-3… 1) <
< log xdx
2
2
ここで Sgrda=[alogs -]=nlogw-n+1,
(= xlog x
x| = nlog n-n+1,
S"ogeda-[dogrー=]*
n+1
dx=[
2+1
xlog x -
12
=(n+1)log(n+1) - (n+1)-21og2 +2
よって, ② は nlog n -n+1<log (n!)
く(n+1)log(n+1)-n+1-log4
さらに, nlog n -n<nlogn-n+
(n+1)log(n+1)-n+1-log4 <(n+1)log(n+1)-n
であるから nlogn-n<log(n!)く(n+1)log(n+1) -n
よって log (n"e-") <log(n!) <log{(n+1)*+le-"}
ゆえに "e-"くn!<(n+1)"+!e-m
したがって, Oはn>2のときも成り立つ。
以上から,すべての自然数 n について, ① が成り立つ。
