基礎問
194 第7章 数
127 和と一般項
数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=-6+2n-an (n≧1)
で表されている.
(1) 初項 α1 を求めよ.
(2) an と an+1 のみたす関係式を求めよ.
(3) an をnで表せ.
精講
数列{an}があって,
a+az+...+an=Sn
とおいたとき, anとS” がまざった漸化式がでてくることがありま
す. このときには次の2つの方針があります.
I. α の漸化式にして, an をnで表す
ⅡI. S の漸化式にして, Snをnで表し, an をnで表す
このとき,I,ⅡI どちらの場合でも次の公式が使われます.
n≧2のとき, an=Sn-Sn-1, a1=S1
(n=1のときが別扱いになっている点に注意)
解答
Sn=-6+2n-an (n ≧1) ...... ①
(1) ① に n=1 を代入して
Si=-6+2-a1
α = S1 だから, a=-6+2-a, 2a1=-4
a=-2
(2) n≧2のとき,①より,
Sn-1=-6+2(n-1)-an-1
Sn-1=2n-8-an-1
①② より,
Sn-Sn-1=2-an+an-1
an=2-an+an-1
AS₁-S₁-1-a
