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数学 高校生

(2)の1行目で、なぜBCベクトルで割ってはいけないのですか?

386 重要 例題 33 内積と三角形 △ABC が次の等式を満たすとき, △ABCはどんな形の三角形か。 O) AB-AC-ACP ⑥ (2) (2) AB·BC=BC.CA=CA·AB HO CHART OLUTION [J 三角形の形状問題TON COLAO 2辺ずつの長さの関係,2辺のなす角を調べる (1) [AC|=AC・AC であるから (AB-AC) ・AC=0 内積=0垂直か ALLOR (2)等式 AB・BC=BC CA を AB, AC を用いて表し, 整理する。 また、同様 に、等式 BC・CA=CA AB を BA, BC を用いて表す。 解答 (1) AB・AC=|AC| から AB・AC-AC・AC=0 ゆえに (AB-AC)・AC=0 AB-AC=CB であるから AB-AC-AC AC-01 ACP-AC-AC bc-c2 = 0 から (b-c) c=0と似た CB.AC=0 CBLAC すなわち CBLACO-HO よって ゆえに |AC|-|AB|²=0 よって したがって, △ABCは∠C=90°の直角三角形である。 (2) AB・BC=BC・CA から BC(AB+AC)=0 (AC-AB)・(AB+ABC=AC-AB よって |AC|=|AB| すなわ AC=AB また, BC・CA=CA・AB から、上と同様にして BA=BC ② ① ② から AB=BC=CA したがって, △ABCは正三角形である。 別解 (2) AB・BCBC・CA から ゆえに BC (AB+AC)=0 ここで、辺BCの中点をMとすると AB+AC=2AM よって BC(2AM)=0 ゆえに BC⊥AM したがって, AM は辺BCの垂直二等分線であるから, △ABC は AB=ACの二等辺三角形である。 同様に, BC・CA=CA・AB から BA=BC よって, △ABCは正三角形である。 J14 ・① BC(AB-CA)=0 + SE Or CA=-AC ←CA (BA +BC)=0 よって OFFT (BA-BC)(BA+B=|| DO2-AO(2-0) ATH HA B M. HUC

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