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れている。 データを集計したところ,それぞれ
のグループの個数, 平均値, 分散は右の表のよ
うになった。このとき, 集団全体の平均値と分散を求めよ。
基本例題 183 分散と平均値の関係
A
00000
ある集団は AとBの2つのグループで構成さグループ個数 平均値分散
00
20
16
24
60
12
B
28
[立命館大]
基本182
|指針
データ X1,X2, .....・, X7の平均値をx, 分散を Sx2 とすると
(A) sx=x-(x)²
が成り立つ。公式を利用して,まず, それぞれのデータの2乗の総和を求め、 再度
式を適用すれば, 集団全体の分散は求められる。
(
この方針で求める際, それぞれのデータの値を文字で表すと考えやすい。 下の解答で
は,A,Bのデータの値をそれぞれX1,X2,
ている。 なお、慣れてきたら, データの値を文字などで表さずに,別解のようにして
X20,1,2,
として考え
350
求めてもよい。
集団全体の平均値は
解答
20×16 +60×12
20+60
13 集団全体の総和は20×16+60×12
so とする。
Aの変量をxとし, データの値をX1,X2, ......,X20 とする。
また,Bの変量をyとし, データの値を y1,y2,
x,yのデータの平均値をそれぞれx, yとし,分散をそれぞれ sx, sy2 とする。
Sx2=x(x)2より,x2=sx2+(x)2 であるから
x'+x2+......+x20²=20×(24+162)=160×35m(x1'+x2+....+)
sy2=y"-(v)2より, y=s,'+(y) であるから
yi2+y22 +…+y602=60×(28+122)=240×43
よって, 集団全体の分散は
20
24(1)(S)
(x12+x22+
20+60
集団全体の平均値は 13
+X202 +yi2+y22+…+yso)-132
160×35 + 240×43
別解 集団全体の平均値は
20×16 +60×12
20+60
80
a)+
=13
-169=30
Aのデータの2乗の平均値は24+162 であり, Bのデータの2乗の平均値は
28+122 であるから, 集団全体の分散は
20×(24+162) +60×(28+122)
20+60
-132=
160×35 +240×43
80
-169=30
