逆関数がもとの関数と一致する条件
bx+1
x+a
基本例題 96
a,
6 は定数で, ab=1 とする。 関数 y=-
と一致するための条件を求めよ。
指針 2つのxの関数f(x), g(x) が一致する (等しい)とは
[1] 定義域が一致する
[2] 定義域のすべてのxの値に対して
解答
bx+1_6(x+α)+1-ab 1-ab
x+a
f(x)=g(x)
が成り立つことである。 この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式 となる
ための必要十分条件を求める。
x+a
したがって, ①の値域は
①からy(x+a)=bx+1
y=bであるから
x+a
x=
y=6
-ay+1
y-b
=
y=
ゆえに x(y-b)=-ay+1
(ISV)
-ax+1
x-b
よって ① の逆関数は
①と②が一致するための条件は,
がxの恒等式となることである。さすが
③ の分母を払って
+b
(x+b)
bx+1
x+a
.....
①の逆関数が,もとの関数
[奈良大]
-ax+1
x-b
②
(3)
基本 95
(bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+a)
別解 定義域が一致すること
に着目した解法。
bx+1
f(x)=
とする。
x+a
f(x) の値域はy≠bであるか
ら,逆関数f'(x) の定義域は
Pa
x=6
-1(x)=f(x) であるとき,
f(x) の定義域 xキーαが
x=6に一致するから
-a=b (必要条件)
このとき, f(x)=ax+1
x+a
の逆関数 f(x) に一致する
( 十分条件)。
167
x について整理すると (a+b){x2+(a-b)x-1}=0
これがxの恒等式であるから
a+b=0 (すなわちb=-α)
このとき、①と②の定義域はともに xキーαとなり一致する。この確認を忘れずに!|
12
3章
13
逆関数と合成関数
