数列は基本的にa_nとa_(n+1)で解き進めるそうです。今回、a_nとa_(n-1)で解きましたが、この解き方がダメなのは、n=2,3のとき不成立だからでしょうか？ そしてこれは数列は基本的にa_nとa_(n+1)で解かなければいけない、普遍的な理由になり得ますか。

4' 1 bm= とおくと, bm+1=56+1 ...... ② だから, an 4 ba+1+1/2-5 (00+1) =5"-bi 4 6.+1-5-1(1+1)-50-1 (1/2+1/2)-1/50-1 3 == ・5n-1 4 4 1-8 ②③より変形する. {bn+1}は公比5の等比数列 <b₁= -1-1 a1 .. 4 b=-5-1-1-3-5-1-1 (2) a1=2, nan+1=(n+1)an+1 4 .. an 4 4 3.5"-1-1 ・④ 階差型になる. (+) = (108) 5. +1+ 1 n+1=out-2より {bm+/12}が定数数列としてもよ い ---2 1 THE あにまん ④ を n(n+1) で割ると, an+1 an 1 + ↓ n+1 n n(n+1)=( ant pant time an 'bn=- n とおくと, bn+1=bn+ 1 n(n+1) bn+1-bn= 1 よって, n≧2のとき, (n+1) k=1 bn=b₁+" (b+1-br)=2+ n-1 •=2+ b. - k(k+1) 2+(1/ =2+ 1 1 (n-1)+1 =3-- (n=1のときもこれでよい ) n :.an=nbm=3n-1 11 演習題 (解答は p.76 ) 次で定義される数列{4} の一般項を求めよ. 0 (1) 例題 (1) に似てい る. (2) 2との関係 an-1 (1) a1=8,4n= (n=2, 3, ...) (津田塾大 国際関係) (n-1)an-1+1 (2) a1=3,aman+1=5.22n-1 (n=1,2,3, ...) (信州大・理) は? 66

演習15で、両辺に√nをかけた不等式について、n=kの時に両辺に√(k+1)を加えて証明しようと思いました。(今まで解いていた問題だとこのような解き方でしたので…) そうしたら3枚目の最後の式から0以上であることを言えないために、証明できませんでした。 みなさんはどの時点... 続きを読む

3 となるので,①は成り立つ。 1 1 +... + <2- 12 22 ne n 1 n=2のとき, 1 + 5 12 4 22 , 1 = 2- 2 2 n=k(k≧2) のとき, ①が成り立つとすると, 1 1 1 ・+・・・+ <2- 12 22 k2 k ①でn=k+1とした式 1/3+/12/2++//+(k+1)= 1 1 1 <2 3 k+1 を②から導けばよい. ここで,②③の左辺どうし,右辺どうしの差を不等号で結ぶと, (k+1)2 < (2-1+1)-(2-1) 4 ④が成り立つことが示せれば, ② + ④ から ③ を導くことができる.そこで, ④ を示すことを目標にする. そのためには, (④の右辺) (④の左辺) > 0 を示せ ばよい. = (2)-(2)-(1) (k+1)2-k(k+1)-k k(k+1)2 1 1 1 1 k k+1 (k+1)2 1 >O k(k+1)2 よって、 ①は数学的帰納法によって証明された. 注②の両辺に 1 (k+1)2 を加えると, 1 1 1 12 + +…+ + 22 k2 1 (k+1)2 1 <2- + k (k+1)2 1 1 これから 2 + <2- k (←④) を示せばよいとしても (k+1)2 k+1 よい。 15 演習題 ( 解答は p.78) ← ③の左辺は、②の左辺に 1 (k+1)2 を足したものなので ②と③の差に着目する. <a<bかつc <d ⇒ atc<b+d という不等式の性質を用いている。 1+√2+√3+√m 数列 {a} を am= で定める.このとき, すべての自然数nに n 2n 3 ついて、不等式 2/ <a が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。 帰納法の使いやすい形に (信州大・医一後) して証明する. 70

別解の解き方の方針は、j を固定して i を動かした後、 「今度は j を変えて、再び i を動かす。」のではなく、 「iが動いている状態の数式が出てくるので、その式の中でjを動かす」でしょうか。

4 総和/公式の活用, 展開の活用 一般項が an=2n-1で表される数列がある.このとき, a2= (1) である.また, 41 から 10 までの異なる2項の積 aia, (ただし, i<j) のすべての和は(2) である. 10 k=1 (芝浦工大) 展開の活用 ① (a+b+c)=a+b2+c22ab+bc+ca)3C22) ② (a+b+c+d)=a+b2+c+d-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) というように, ①で,展開した式の ・部には, a,b,cの3個から異なる2個を取ってできるすべて の種類の積が出てくる. ②で, 展開した式の 一部には, a, b, c, dの4個から異なる2個を取ってで きるすべての種類の積が出てくる. 4C2 ET (a1+a2+..+an)の展開を考えると,ここには, 41, a2, 3, ..., an の中から異なる2個を取り出し て作られる積,„C2通りのすべてが出てくる。これを利用して総和を求める。(1th) +a2b+3bat- 2→b

この問題、取っ掛かりをどう考えますか？公比の正負が決まることで、3つの数の並べ方が6パターンから3パターンに絞ることができるから、正負を決めようとする感じでしょうか？ 他の取っ掛かりはありますか？

3° のとき, ・3a-18= 以上から, (a,b,c) = (3/2,3, 6), (6,3,3/2) (イ) {a} の初項をα, 公比をとおくと, an=arn-1 [ (イ) 後半の方針] > bは解 a+az=a+ar=a(1+r)=135 as+ as = ar³ + ar₁ = ar³ (1+r) = 40} ar3(1+r). 40 8 2 \3 ける不等式ではない. 最小のn ・から を求めたいので, n=1,2, より,23 a (1+r) 135 27 よって,r= 2 3' 135 135 a= ・=81 1+r 5/3 {bm} の公差を d とおく. by~ 65 の和= なので, (84+2d) ・5=290 2\n-1 (3)", bm=84-13(n-1) b1+65 84+ ( 84+4d) 2/2 ・5が290 順に調べていくのが早い。 なお, 座標平面上に (n, an), (n, bm) をプロットすると下図のように なる。 YA 2 .. 42+d=29 . d=-13 -y=97-13x =81(3) an=81. n 1 2 3 4 5 9 32 64 an 81 54 36 24 16 と表よりan> b となる最小のnは7. 39 bn 84 71 58 45 32 19 6 br 02 03 04 05 06 a a az a3 asas 0 1234 5 6 7 x -1 2 演習題 (解答は p.72) pg を実数とし, pg とする.さらに, 3つの数4, p, gをある順に並べると等比数列 となり, ある順に並べると等差数列となるとする. このときp, q の組 (p, g) をすべて求 (小樽商大 ) めよ. 公比が正か負かを考えよ う。 57

(2)を解きましたが間違いでした。a_(2n-1)=bkと数列を置くところが違うのでしょうか。

1+1 (1) q=1より, a2=a+- =2,as=a2+/2/2=3 2 4 3+1 a=a3+ =5, as=a4+2 -=7,as=as+ 5+1 2 =10, a₁ = a+ 6 =13 (2) n=2k-1のとき, (2k-1)+1 a(2k-1)+1=a2k-1+ a2h=a2k-1+k 2k n=2kのとき,2k+1=azk+ =a2k+k 2 ①,②より,azk+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=azk-1+2k n≧2のとき、 azn_1=a1+(ag-a)+(a5-a3)+..+(azn-1-a2n-3) n-1 n-1 fch-in) Q- =a1+ (azh+1-a2n-1)=1+2k=1+2(n-1)n k=1 =n2-n+1 (n=1のときもこれでよい) ①から, azn=azn-1+n=n2+1 ③ ④ n=20 として, α39=202-20+1=381, a = 202+1=401 (3) ③, ④より 20 n=1 20 (a2n-1+a2n) = (2n²-n+2) =(2n²-n+2) n=1 =2.11.20-21-41- 1 ・20・21+2・20=5570 3 奇数項についての漸化式を立て て奇数項を求める。 偶数項は奇 数項からすぐに分かるので, 偶数 項についての漸化式は立てる必 要はない. Σa=na k=1 13 演習題(解答は p.77) 次の漸化式によって定義される数列{a} (n=1, 2, ･･･) について,次の問いに答えよ. 1 a1=4, a2n=/azn-1+n2, azn+1=4a2n+4(n+1) (1) 2, 3, 4, 5 を求めよ. It (2) azn, a2n+1 をnを用いて表せ。 (2) 奇数番目の項だけ (3){a} の項で4の倍数でないものは, nの値が小さいものから4項並べると, a, ao, ao, ao Ths. に着目する. (3) 2+1 は漸化式か (類 松山大薬) 88 68

階差数列を考える時、2枚目の3行目の赤ペンが入っている階差数列を3枚目の階差数列として解いてしまいました。 なぜ3枚目だとダメなのでしょうか。項数が違ってしまうとかでしょうか…

2) a1=2, na,+1=(n+1)an+1 ④をn(n+1)で割ると, bn = an n an+1 an 1 = + n+1 ” とおくと, bn+1=bn+ よって,n≧2のとき, n(n+1) n 1 n(n+1) 1 :.bn+1-bn= n(n+1) 1 n-1/1 1 =2+ Σ k=1k k+1 1-by)=2+2k(k+1) bn=b₁+(b+1-br) bn=b₁+ (bk+1-bk)=2+ Σ 1 =2+ 1 (n-1)+1 1 =3- (n=1のときもこれでよい) n ∴an=nbn=3n-1 11 演習題 (解答は p.76) 次で定義される数列{an} の一般項を求めよ. an-1 (1) a1=8, an= (n=2, 3, ...) (津田塾大・目・大 (n-1)an-1+1 (2) a1=3, anan+1=5・22n-1 (n=1, 2, 3, ...) (信州訃) 66

(3)を解きましたが不正解でした。3枚目では、2枚目の①までは同じで、bnを消さずに係数比較してみました。しかし、これでは式が一本しかなく、A,Bの値がもとまりません。 私はどこで間違えたのでしょうか。

=1 }-12+(1/2) (n=1のときもこれでよい) よって, an an=40,=1"{1/12+(1/2)"}=2-4- =2.4"-1+2" 【別解】 (2) +1+A2n+1=4 (an+A2") を満たす A を求める。 Qn+1=4a„+4A.2"-A2"+1=4a+A2n+1 と条件式を比べて, A=-1 an+1-2n+1=4(an-2")より, {an-2"} は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2.4"-1 ∴an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 α を求めよ. (1) a1=2, an+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) a1=1, an+1-2am=n.2n+1 (n≧1) (日) 1 n-1 (3) a1=1, an+1= = ant 2 (n≧1) (岐 n(n+1) 64

(1)を係数比較で解こうとしましたが、A=1になるところ、-1になってしまいました。2枚目の右側のものが解答の解き方でした。 どこで間違えたのでしょうか。

12/ bn = 4 n とおくと, b1=241=1, n-1 +1 =1, bnt1=bn- (1/2)となるので,n2のと bn=b₁+ (bk+1b)=1- k=1 1 (2/2) =1- k=] 11/12/11-(1/1)-1/2+(1/2) =1 よって, an=4"bm=4" 11/1/2+(1/2)^}= n-1 2 1 1- 2 (n=1のときもこれでよい) =2.4"-1+2" 【別解】 (2) n+1+A2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める。 an+1=4an+4A2"-A・2n+1=4a,+A2n+1 と条件式を比べて, A=-] an+1-2n+1=4(an-2")より,{an-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2･4n-1 09 9 演習題 (解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ. (1) a1=2, an+1=3an+2n2-2n-1 (n≥1) (2) a1=1,n+1-2an=n.2n+1 (n≧1) an=2.4"-1+2" (E (3) a1=1, an+1 1 n-1 = 2 ant n(n+1) (n≧1) ( 64

解説の(2)(ⅲ)でan>2^(1/3)なので、1回変形しただけでも正であると言えると思うのですが、なぜ解答ではan^3が出る形まで変形しているのでしょうか。

14 不等式と漸化式 (1)x>0のとき,不等式 1/2(x+1/22) 221 を示せ、また等号が成り立つのはどのようなときか (2) 数列{a} を, a1=2, an+1= 2/3(an+1/2)(n=1,2,3,..)で定める。 1 (i) n≧1 のとき, an>an+1>2を示せ. 2. 2 2 (ii) n≧2のとき, を示せ. an+1 an 2 2 an 3 an-1 2 2\n-1 を示せ. 2 3 an (i) n≧1のとき, 0<an+1 an+1 <kan 不等式の証明 (金沢大文系) k>0,an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, am <kn-la を導くことができる。 A>Bを示すには, A-B>0 を示すことを目標にするのが基本方針. ②なり 解答量 (1) 与式の分母を払い、2-3・2332+20 これを示せばよい。 左辺を因数分解して(x-21) (2+2号) D ←t=23 とおくと, 2x3-3t2+1=(x-t) (2x+t) >0のとき ①≧0 (等号はx=23)であるから示された。 ant 3 = (a+11) (2)(i)/a>2号と(1)より,帰納的に4741= an 2 an 3-2 3an2 an 2 1 ->0 (an>23) 2 1 また, an-an+1=an- 3 ant 1 よって,amam+1 > 2 2 2 1 = 2 an 3 an 2 2 (iii) an+1) = an 2 = 2 よって,,>2/1/3(n≧1)が成り立 つ これを帰納法で示すと丁寧. (an> Ants >2} (1+4) XA-Bo 2 (日)) (ii) an+17 2 2 = an 2 2 an 3 2 an an 2 3 an an-1 ->0 (an>23) 2 an 3-2 -(-)-> 2 3 an 2 3 2 n=1のとき=1で与式は成立する.n≧2のとき (ii) をくり返し用いて, an+1 2 an 2 2 3 an 2 < an-12) n-1 a2 22 33 2 a₁2 an-1 2 An-22 n-1 ・1= 2\n-1 (号) an-1 _2 an-2 0<an <an-1より 2. 1+4 an² <an-12 2 = a2 2 a1 上式 2-3 2-3 2 2 2 an an-1 03-2 2 223-2 22 =1 2

4行目のように全ての2をtに置き換えるとうまくいかなかったため5行目のように第2、3項のみtに置き換えるのでしょうか。 それともそもそも、他の問題でも同じく第1項をtに置き換えないなどの決まりがあるのでしょうか。

3 ①2(x+1)-21320 ②-233x2+220 x +3x² - t⋅ 3x² + +³ 20 2x3 t3x+3z (x-1)^(2x+t)≧0 つ x 72 2+3-3t 1-t