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Jル I 13
6
因数でくくる
(2) 与えられた数列の階差数列をとると、
1. 2, 4, 8,… となる。 と))
これは,初項1, 公比2の等比数列だから
次の数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ
(1) 2, 3, 6, 11, 18, 27,
(2) 2, 3, 5, 9, 17,
第n項は, 2"-1
とって,求める数列の一般項は, n22 のとき
1114
レー! -
2-1
精講
2+ 221=2+
27-1-1
-=2"-1+1
k=1
2-1
|118
これは,n=1 のときも含む。
あれば、次のように考えて一般項を求めることができます。
吟味を忘れずに
よって,初項から第n項までの和は
a1, Q2, as, …, An-l, Qn
n
2(2*-1+1)=22-1+21
b be bs …
bォー1
(118
k=1
k=1
k=1
42=a;+b,, as=az+b:=a:+(b+ba),
2"-1
+n=2"+n-1
カー1
2-1
a,=a,+(b,+ba+…+ba-1)=a:+Zb。 (ただし, n>2)
た=1
この式は,n22 のときに限り成りたつので, n=1 のときを別に調べないと
のポイント
an+1-an= bn と表せるとき
いけません。
n-1
an=Qi+2be(n22)
解答
k=1
(1) 与えられた数列の階差数列をとると,
1, 3, 5, 7, 9, … となる.
これは,初項1, 公差2の等差数列だから,
第n項は, 2n-1
120|||Iの考え方に従うと,次のようにしてポイントの公式を証
明できます。
参考
110
(証明) n22 のとき
よって,求める数列の一般項は, n>2 のとき
ポイント参照
n-1
n-1
2(ak+1-Q)= 2 b。
2+2(2k-1)=2+2ラカ(n-1)-(n-1)
カー1
k=1
k=1
1117
k=1
n-1
(an-an-)+(an +(2-a)= Z b«
=n°-2n+3
これは, n=1 のときも含む。
次に,初項から第n項までの和は
k=1
n-1
n-1
吟味を忘れずに
an-a=2 b。
よって, an=ai+Z«
k=1
k=1
2(-2&+3)=E-2こk+23
k=1
k=1
k=1
k=1
演習問題 121
次の各数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ。
|117 )
(1) 1, 2, 6, 13, 23,
(2) 1, 2,5, 14, 41,
