基本 例題 108 関数の
に注目
| 関数 y=4cosx+cos 2x (-2π≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。
0000
基本107
109.11
指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題 107 同様 定義域, 増減と極
凹凸と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが、特に、
性に注目すると,増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(x)=f(x) が成り立つ (偶関数)
f(x)=-f(x)が成り立つ (奇関数)
グラフは軸対称
グラフは原点対称
(数学II)
20≦x≦2mの範囲で増減 凹凸を調べて表にまとめ, 0≦x≦2 におけるグラフを
この問題の関数は偶関数であり, y'= 0, y" =0の解の数がやや多くなるから、
に関して対称に折り返したものを利用する。
y=f(x) とすると,f(-x)=f(x) であるから, グラフはycos (一)=cos
解答 軸に関して対称である。
y=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxcosx
=-4sinx(cosx+1)
y" =-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)}
=−4(cosx+1)(2cosx−1)
0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 また
は cosx+1=0 から
x=π
y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0または2cosx-1=0
12倍角の公式。
y=-4 sinx-2sin2x
を微分。
(*)の式で,
cosx+1≧0に注意。
sinx, 2cosx-1の符号
に注目。
π
5
から
x=
π,
π
3
よって, 0≦x≦2 におけるyの増減, 凹凸は,次の表のよ
うになる。(*)
π
x
0
π
3
y'
---
0
5 2
20
(0-
y"
+
20
e
32
-3
↑
032
5
ゆえに、グラフの対称性により, 求めるグラフは図
π
参考 上の例題の関数について
++
53 +
TT
...
y
+dx)-------
15
TC
3
32
π
π
2π
3
'5
π
253
π
3
